Παλιά Αποτελέσματα σε Νέο Φως - Συνδυάζοντας δύο διαγράμματα για μία νέα ερμηνεία

Ο διπλασιασμός της περιόδου των λύσεων ενός μη-γραμμικού συστήματος, ως μηχανισμός μετάβασης  στις χαοτικές λύσεις, επιδεικνύει την ερμηνευτική του ισχύ. Τα διαγράμματα διακλάδωσης χρησιμοποιούνται για να  ερμηνεύσουν την γενικότερη συμπεριφορά του συστήματος, όπως παρουσιάζεται σε άλλο διάγραμμα των παραμέτρων ελέγχου.

Στην ανάρτηση αυτή συνδυάζουμε παλιότερα αποτελέσματα επιχειρώντας να αποκτήσουμε μία γενικότερη εικόνα για την συμπεριφορά του συστήματος. Έτσι, λοιπόν, δεν θα παρουσιάσουμε τίποτα καινούργιο. Ο συνδυασμός όμως των παλιότερων αποτελεσμάτων θα μας εξοπλίσει με μία ισχυρότερη εποπτεία του συστήματος

Ξεκινάμε με την ευαισθησία των αρχικών συνθηκών όπως αυτή αποτυπώνεται στο διάγραμμα του επιπέδου που ορίζεται από τις τιμές δύο παραμέτρων ελέγχου του συστήματος. Το διάγραμμα αυτό παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Ο τρόπος που κατασκευάζεται και άλλες τεχνικές λεπτομέρειες που αφορούν στην "ανάγνωσή" του, στοιχεία της πληροφορίας που περιέχει καθώς επίσης και ορισμένα σχόλια για την δομή του και τα χαρακτηριστικά του, έχουν αποτελέσει αντικείμενο ανάλυσης μιας προηγούμενης ανάρτησης [~].  Το βασικό διάγραμμα που προέκυψε από την εν λόγω ανάλυση παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα και θα αποτελέσει το σημείο εκκίνησης για περαιτέρω διερεύνηση.

Το διάγραμμα αυτό συνδυάζει τη μεταβολή δύο από τις τρεις παραμέτρους ελέγχου $a,\ b$ και $c$ του συστήματος του Rossler. Διατηρώντας σταθερή την τιμή της $b = 0.8$ και μεταβάλλοντας τις άλλες δύο στα διαστήματα όπου $c\in[4.3,\ 6]$ και $a\in[0.15,\ 0.38]$ λύνουμε αριθμητικά το σύστημα και παίρνουμε την λύση $x(t)$, όπου $t\in [3000, 3700]$, για κάθε ζεύγος τιμών $(a,\ c)$. Tέλος ελέγχουμε την ευαισθησία της λύσης στις αρχικές συνθήκες. Αν η λύση $x(t)$ για το ζεύγος τιμών $(a,\ c)$ εμφανίζει το φαινόμενο της ευαισθησίας τότε αναλόγως με την ένταση που εμφανίζεται αυτό αντιστοιχίζουμε στο σημείο $(a,\ c)$ του διαγράμματος με ένα χρώμα στην κλίμακα του γκρι (με το μαύρο να αντιστοιχεί σε έντονη εμφάνιση του φαινομένου).

Η πληροφορία που περιέχει το διπλανό διάγραμμα είναι αρκετά συμπυκνωμένη και για αυτό είναι ίσως δύσκολο να κατανοήσουμε το ακριβές του περιεχόμενο. Σκοπός της παρούσας ανάλυσης είναι να αποκτήσουμε μία διαισθητική ερμηνεία της εμφάνισης των λευκών και των γκρίζων περιοχών με τη βοήθεια των διαγραμμάτων διακλάδωσης που μας απασχόλησαν σε προηγούμενη ανάρτηση [~].

Η πληροφορία για τη γενικότερη συμπεριφορά του συστήματος είναι πιο άμεση στα διαγράμματα διακλάδωσης, αφού μας δίνεται η ευκαιρία να παρακολουθήσουμε τη συμπεριφορά του συστήματος καθώς μεταβάλλουμε μία μόνο παράμετρο ελέγχου. Επίσης, στα διαγράμματα διακλάδωσης γίνεται φανερή η μετάβαση των λύσεων από τις περιοδικές στις χαοτικές. Είδαμε [~] ότι η μετάβαση αυτή υπαγορεύεται από μία ακολουθία διπλασιασμού της περιόδου των λύσεων, η οποία συνεχίζεται μέχρι το κατώφλι των χαοτικών λύσεων.

Επιχειρώντας να συγκρίνουμε τα δύο αυτά διαγράμματα, ας εστιάσουμε αρχικά την προσοχή μας στον τρόπο με τον οποίο εμφανίζεται το χάος και πως οι χαοτικές λύσεις περιπλέκονται με τις περιοδικές. Για το διάγραμμα των δύο παραμέτρων ελέγχου παρατηρήσαμε μία εξαιρετικά πολύπλοκη εναλλαγή των περιοδικών λύσεων με  τις χαοτικές, εστιάζοντας σε διάφορες περιοχές όπου ενώ αρχικά φαίνεται να κυριαρχούν οι χαοτικές λύσεις παρατηρούμε μία λεπτή δομή των λύσεων με "παράθυρα" περιοδικότητας, όπως φαίνεται στο διπλανό "χαμόγελο".

Παρόλο που αυτές οι λεπτοφυείς δομές μας παραπέμπουν σε δομές που μπορούν να σχετίζονται με φαινόμενα αυτοομοιότητας, οι ομοιότητες όσον αφορά στις συγκεκριμένες εναλλαγές περιοδικών και χαοτικών λύσεων με τα διαγράμματα διακλάδωσης είναι πολύ πιο άμεσες. Παρόλο που δεν ασχοληθήκαμε ιδιαίτερα με τις περιοχές των χαοτικών λύσεων στα διαγράμματα διακλάδωσης γίνεται εμφανές ότι υπάρχουν ανάλογα παράθυρα περιοδικής συμπεριφοράς. Προκειμένου να έχουμε μία εικόνα τέτοιων περιοχών, στο παρακάτω διάγραμμα έχει γίνει μία εστίαση του διαγράμματος διακλάδωσης της παραμέτρου $c$ για ένα εύρος τιμών της παραμέτρου, όπου υπάρχουν ως επί το πλείστον χαοτικές λύσεις. Ωστόσο μέσω της εστίασης παρατηρούμε περιοχές όπου οι χαοτικές λύσεις διακόπτονται απότομα και εμφανίζονται καμπύλες και διακλαδώσεις που, αυξάνοντας την τιμή της παραμέτρου, τις θέσεις τους παίρνουν και πάλι χαοτικές λύσεις κ.ο.κ.

Το μεγάλο διάγραμμα διακλάδωσης αντιστοιχεί σε μία περιοχή του μικρότερου (ερυθρή ζώνη), στο εύρος τιμών της παραμέτρου ελέγχου $c$, όπου η αριθμητική επίλυση του συστήματος του Rossler μας δίνει χαοτικές λύσεις.  Ωστόσο στην περιοχή $[6.2,\ 6.3]$ και περίπου στην τιμή $6.4$ υπάρχουν κάποιες στενές περιοχές περιοδικών λύσεων. Η πρώτη περιοχή φαίνεται καλύτερα στο δεξί διάγραμμα όπου διαπιστώνουμε ότι η αρχική περίοδος είναι 6. Τα διαγράμματα σχεδιάστηκαν στις περιοχές $[6.,\ 6.5]$ με βήμα $10^{-3}$ για το πρώτο, ενώ $[6.20,\ 6.30]$ με βήμα $2\times 10^{-4}$, για το δεύτερο. Η αριθμητική λύση που χρησιμοποιήθηκε είναι η $x(t)$ στο διάστημα $t\in [3000,\ 3700]$.

Η παρούσα ανάλυση στοχεύει σε μία καλύτερη κατανόηση αυτού του φαινομένου και θα κινηθεί  στους δύο τύπους διαγραμμάτων. Στο παραπάνω διάγραμμα οι τιμές της παραμέτρου $c$ βρίσκονται στο διάστημα $[6,\ 6.5]$ και η τιμή της παραμέτρου $a$ διατηρείται σταθερή $a = 0.2$. Για αυτές τις τιμές παρατηρούμε την παρεμβολή δυο περιοχών περιοδικών λύσεων για τις τιμές της παραμέτρου 6.25 περίπου και 6.4. Το μεγάλο διάγραμμα δείχνει πιο λεπτομερώς την γειτονιά της πρώτης περιοχής.

Λαμβάνοντας υπόψη το διάστημα των τιμών της παραμέτρου $c$, στο παραπάνω διάγραμμα καθώς επίσης και την σταθερή τιμή της παραμέτρου $a$ συμπεραίνουμε ότι οι τιμές αυτές βρίσκονται εκτός της  περιοχής του διαγράμματος των παραμέτρων για την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Στη συνέχεια θα επιχειρήσουμε μία πιο γενική ερμηνεία της συμπεριφοράς του συστήματος, από εκείνη που μας παρέχουν τα διαγράμματα διακλάδωσης, διερευνώντας, μέσω αυτών, το περιεχόμενο του  παραπάνω διαγράμματος.

Όπως φαίνεται και στο πρώτο διάγραμμα της ανάρτησης αυτής για μικρές τιμές της παραμέτρου $a$ η συμπεριφορά του συστήματος ξεκινάει με περιοδικές λύσεις, ενώ όσο αυξάνεται σε κάποιο σημείο οι λύσεις αρχίζουν να αποκτούν μία ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες, όπου εφαρμόζοντας μία ελάχιστη διαταραχή οι λύσεις αποκλίνουν μεταξύ τους. Σύμφωνα με το διάγραμμα διακλάδωσης της παραμέτρου $a$, στην έκταση της περιοχής των λευκών σημείων για τις μικρές τιμές της παραμέτρου εκτυλίσσεται το φαινόμενο του διπλασιασμού περιόδου των λύσεων, μέχρι που περνάμε στην περιοχή των χαοτικών λύσεων. Αυτή είναι μία γενική συμπεριφορά που όπως φαίνεται και από το γενικό διάγραμμα των παραμέτρων ισχύει για όλες τις τιμές της παραμέτρου $c$. Ας δούμε όμως και πιο ειδικά παραδείγματα.

Επιλέγουμε μία τιμή της παραμέτρου $c$ στον κάθετο άξονα του διαγράμματος. Έστω ότι η τιμή αυτή είναι η $c = 4.7$. Όπως υποδεικνύει το γενικό διάγραμμα υπάρχει ένα διάστημα τιμών της παραμέτρου $a$, όπου εκτυλίσσεται το φαινόμενο διπλασιασμού περιόδου των λύσεων. Το διάστημα αυτό έχει ως δεξί άκρο του λίγο πριν η παράμετρος $a$ αποκτήσει την τιμή $a \approx 0.25$, όπου ξεκινάνε οι χαοτικές λύσεις και όπως φαίνεται και στο σχήμα εκτείνονται στην Α' περιοχή χαοτικών λύσεων. Σύμφωνα πάντα με το σχήμα η περιοχή αυτή θα πρέπει να βρίσκεται χονδρικά στο διάστημα όπου $a\in[0.25,\ 0.27]$. Την περιοχή αυτή διαδέχεται μία ζώνη περιοδικών λύσεων (όπως εκείνη που συναντήσαμε στο προηγούμενο σχήμα παραπάνω), η οποία βρίσκεται γύρω από την τιμή $a =0.27$ (A΄ ζώνη περιοδικών λύσεων). Μετά, για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου $a$ περνάμε ξανά σε μία περιοχή χαοτικών λύσεων, η οποία διακόπτεται πάλι από μία περιοχή περιοδικών λύσεων (Β' ζώνη περιοδικών λύσεων) περίπου στην τιμή $a = 0.32$. Στη συνέχεια έχουμε μία περιοχή χαοτικών λύσεων και μετά ξανά μία ζώνη περιοδικών λύσεων που αντιστοιχεί στην μεγάλη ζώνη περιοδικότητας που εμφανίζεται στην δεξιά άκρη του διαγράμματος διακλάδωσης. Η σύγκριση των διαγραμμάτων στο διπλανό σχήμα δείχνει ότι οι τιμές αυτές συμπίπτουν αρκετά μεταξύ τους.

Έτσι, αρχίζει να διαφαίνεται μία συσχέτιση της πληροφορίας που περιέχουν οι δύο διαφορετικοί τύποι διαγραμμάτων.

Έτσι, για μία οριζόντια γραμμή, το αριστερό της άκρο ξεκινάει από ένα σημείο της λευκής περιοχής στα αριστερά του διαγράμματος, μέχρι να συναντήσει την αντίστοιχη Α' περιοχή χαοτικών λύσεων η οποία θα διακοπεί από μία λευκή περιοχή, που στο αντίστοιχο διάγραμμα διακλάδωσης θα αντιστοιχεί σε ένα παράθυρο περιοδικών λύσεων, αυτές θα διαδεχτεί μία άλλη περιοχή χαοτικών λύσεων κ.ο.κ. Το διάγραμμα των παραμέτρων μπορεί να μας δώσει τόσο μία ποιοτική, όσο και μία ποσοτική εκτίμηση του διαγράμματος διακλάδωσης της παραμέτρου $a$. Όπως είδαμε και παραπάνω μπορούμε να έχουμε ποσοτικές εκτιμήσεις για τις τιμές της παραμέτρου $a$ που διακόπτεται ο διπλασιασμός των περιόδων ή για εκείνες τις τιμές που εμφανίζονται τα παράθυρα των περιοδικών λύσεων όπως παρεμβάλλονται στις χαοτικές περιοχές.

Για κάθε μία οριζόντια ευθεία (όπως παραπάνω που αντιστοιχεί στην τιμή $c = 4.7$) προκύπτει ένα διάγραμμα διακλάδωσης της παραμέτρου $a$. Βάσει του διαγράμματος των παραμέτρων για την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες, μπορούμε να προβλέψουμε πώς μεταβάλλεται το διάγραμμα διακλάδωσης της $a$ καθώς μεταβάλλεται η $c$. Παρατηρείστε ότι η ακολουθία διπλασιασμού περιόδου τερματίζει για όλο και μικρότερες τιμές της $a$ καθώς αυξάνεται η $c$, ενώ η Α' και η Γ' ζώνη περιοδικών λύσεων ακολουθούν μία "πορεία".

Παρακάτω παρουσιάζεται αυτή η μεταβολή του διαγράμματος διακλάδωσης για την παράμετρο $a$ καθώς αυξάνουμε τη $c$. Ξεκινώντας από την κατώτερη τιμή $c = 4.3$ μέχρι την τιμή $c = 5.77$ και με βήμα $0.01$ κατασκεύασα με το Mathematica 148 διαγράμματα διακλάδωσης προκειμένου να επαληθεύσω τα αποτελέσματα που προέβλεπε το παραπάνω διάγραμμα των παραμέτρων για την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Όλα αυτά τα διαγράμματα αν τα προβάλλετε μαζί θα σας δώσουν την αίσθηση μίας συνεχούς μεταβολής, όπου ο διπλασιασμός της περιόδου κινείται προς τα αριστερά, ενώ στις χαοτικές περιοχές εμφανίζονται και εξαφανίζονται παράθυρα περιοδικότητας. Σε επόμενη ανάρτηση θα εστιάσουμε την προσοχή μας και σε άλλες περιοχές, έτσι ώστε να μπορούμε να αναγνώσουμε καλύτερα την πληροφορία που περιέχει το διάγραμμα των παραμέτρων για την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Μπορείτε να παρακολουθήσετε τα διαδοχικά διαγράμματα διακλάδωσης κάνοντας αριστερό κλικ στην παρακάτω εικόνα.

______________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ

Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με το σύστημα Rossler, πατήστε [~].
Για το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες (φαινόμενο της πεταλούδας), πατήστε εδώ [~].
Για το διάγραμμα των παραμέτρων για την ευαισθησία του συστήματος Rossler στις αρχικές συνθήκες , πατήστε εδώ [~].
Για τα διαγράμματα διακλάδωσης των παραμέτρων ελέγχου του συστήματος Rossler, πατήστε εδώ [~].

Όταν ο Δρόμος Προς το Χάος Είναι Γεμάτος Διακλαδώσεις

Μελετάμε τον τρόπο μετάβασης από τις περιοδικές τροχιές προς τις χαοτικές με τη βοήθεια των διαγραμμάτων διακλάδωσης για τις παραμέτρους ελέγχου ενός μη-γραμμικού συστήματος. Το πιο σύνηθες σενάριο μετάβασης στο Χάος εκτυλίσσεται μπροστά στα μάτια μας, αποκαλύπτοντας τη λεπτή δομή του!

Η μελέτη των παραμέτρων ελέγχου που υπάρχουν σε ένα σύστημα μπορεί να καταλήξει σε πολύ χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με την συμπεριφορά του. Στην ανάρτηση αυτή χρησιμοποιούμε το σύστημα του Rossler και προσπαθούμε να αποκτήσουμε μία εποπτική εικόνα των περιοδικών και των χαοτικών λύσεων μέσω ενός διαγράμματος που αφορά στις τιμές μιας παραμέτρου ελέγχου.

Το σύστημα του Rossler περιέχει τρεις παραμέτρους ελέγχου \(a\), \(b\) και \(c\). Αλλάζοντας την τιμή έστω και μιας από αυτές, προκύπτει διαφορετική τροχιά, ή ισοδύναμα διαφορετικές λύσεις. Αυτό το είχαμε παρατηρήσει και σε προηγούμενη ανάρτηση [~]. Σε μία άλλη ανάρτηση [~] επικεντρωθήκαμε πάλι στις παραμέτρους ελέγχου, προσπαθώντας να "χαρτογραφήσουμε" τις χαοτικές και τις περιοδικές τροχιές σε ένα κοινό διάγραμμα. Το διάγραμμα αυτό προέκυπτε αλλάζοντας τις τιμές σε δύο από τις τρεις παραμέτρους ελέγχου (κρατώντας την τρίτη σταθερή). 

Σε αυτή την ανάρτηση θα επικεντρωθούμε σε κάθε παράμετρο ελέγχου ξεχωριστά και θα κατασκευάσουμε έναν πολύ χρήσιμο τύπο διαγράμματος, το διάγραμμα διακλάδωσης.

Η κατασκευή των διαγραμμάτων διακλάδωσης είναι σχετικά απλή. Επιλέγουμε την παράμετρο ελέγχου στην οποία θα αντιστοιχεί το διάγραμμα και με μικρό βήμα αλλάζουμε την τιμή της λύνοντας αριθμητικά το σύστημα για κάθε τέτοια τιμή. Στη συνέχεια επιλέγουμε ένα χρονικό διάστημα όπου υποθέτουμε ότι οι λύσεις θα είναι ενδεικτικές της συμπεριφοράς του συστήματος. Σε τούτο το διάστημα αναζητούμε τυχόν περιοδικές συμπεριφορές της λύσης. Αυτό που αναπαριστούμε στο διάγραμμα είναι τα περιοδικά σημεία της αριθμητικής λύσης.

Εκτελώντας την παραπάνω διαδικασία για την παράμετρο ελέγχου \(c\) ξεκινώντας από την τιμή \(c = 3.2\) και καταλήγοντας στην \(c = 10\), προκύπτει το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος για την αριθμητική λύση της \(x(t)\).

Tο διάγραμμα διακλάδωσης για την παράμετρο \(c\) στο σύστημα του Rossler. To εύρος τιμών της παραμέτρου που χρησιμοποιήθηκε είναι \(c\in [3.2,\ 10]\) με βήμα \(0.01\). Η αριθμητική λύση που χρησιμοποιήθηκε είναι η \(x(t)\) όπου \(t\in[3000,\ 3700]\). Οι τιμές των παραμέτρων \(a\) και \(c\) που χρησιμοποιήθηκαν είναι \(a=c=0.2\).

To διάγραμμα χωρίζεται σε περιοχές όπου υπάρχουν κάποιες καμπύλες και σε περιοχές όπου υπάρχουν πολλά σημεία. Οι περιοχές των καμπυλών αντιστοιχούν σε τιμές της παραμέτρου \(c\) (και για τις συγκεκριμένες τιμές των άλλων δύο παραμέτρων) όπου η λύση \(x(t)\) είναι περιοδική. Οι περιοχές όπου οι καμπύλες χάνονται και αντικαθίστανται από σημεία, αντιστοιχούν σε περιοχές τιμών της παραμέτρου \(c\) όπου οι λύσεις είναι χαοτικές. Ωστόσο και οι χαοτικές περιοχές διακόπτονται από περιοχές περιοδικών λύσεων, φαινόμενο που συναντήσαμε με κάποια άλλη μορφή σε ένα διαφορετικό διάγραμμα, [~].

Παρατηρείστε τον τρόπο με τον οποίο ξεκινάει το διάγραμμα για τις μικρές τιμές της παραμέτρου. Ξεκινάει από μία καμπύλη και λίγο πριν την τιμή \(c = 3.5\) διακλαδίζεται σε δύο καμπύλες. Κάθε κλάδος από την αρχική διακλάδωση, διακλαδίζεται επίσης λίγο πριν την τιμή \(c = 4\) και σύντομα ακολουθεί και άλλη διακλάδωση. Έτσι, διατρέχοντας την τιμή της παραμέτρου ξεκινώντας από τα δεξιά και μέχρι λίγο μετά την τιμή \(c=4\) οι λύσεις \(x(t)\) είναι περιοδικές. Ωστόσο συμβαίνουν κάποιες διαδοχικές διακλαδώσεις στην αρχή σε 2, μετά σε 4, έπειτα σε 8 κλάδους μέχρι που καταλήγουμε στην περιοχή των χαοτικών λύσεων. Ποιο είναι το ποιοτικό περιεχόμενο των διακλαδώσεων και γιατί διακόπτονται από μία "σκόνη" σημείων;

Αν αναλογιστούμε τον τρόπο που κατασκευάζεται το διάγραμμα διακλάδωσης είναι σχετικά εύκολο να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα. Το πλήθος των καμπυλών που προκύπτουν από κάθε διακλάδωση αντιστοιχεί στην περίοδο που έχουν οι λύσεις του συστήματος για τις αντίστοιχες τιμές της παραμέτρου ελέγχου. Επομένως, διατρέχοντας τις τιμές της παραμέτρου \(c\), ξεκινάμε με λύσεις περιόδου 1, μετά την πρώτη διακλάδωση έχουμε λύσεις περιόδου 2, αργότερα με νέα διακλάδωση περνάμε σε λύσεις περιόδου 4, μετά σε περίοδο 8, σε περίοδο 16 (βλ. σχήμα παρακάτω) προσεγγίζοντας έτσι την περιοχή των χαοτικών λύσεων. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το παραπάνω διάγραμμα για την τιμή της παραμέτρου \(c = 3.4\) προκύπτουν λύσεις που συγκλίνουν σε ένα σημείο. Για τις τιμές \(c = 3.4\) και \(c = 3.6\) προκύπτουν λύσεις περιόδου 2, ενώ  για την τιμή \(c = 4\) έχουμε λύσεις περιόδου 4.


Επιλέγοντας την παράμετρο ελέγχου \(a\) και κατασκευάζοντας το αντίστοιχο διάγραμμα διακλάδωσης, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, συναντούμε ξανά το ίδιο μοτίβο των διακλαδώσεων, αλλά φυσικά για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου. Άρα έχουμε πάλι το ίδιο σενάριο που οδηγεί από τις περιοδικές λύσεις στις χαοτικές λύσεις. Γενικά, αυτό το σενάριο μετάβασης στο χάος, μέσω του διπλασιασμού της περιόδου των λύσεων, αποτελεί μία συνήθης συμπεριφορά των μη-γραμμικών συστημάτων. Για το λόγο αυτό αξίζει να την εξετάσουμε πιο προσεκτικά.

To διάγραμμα διακλάδωσης για την παράμετρο ελέγχου \(a\) στο πεδίο τιμών \([0,\ 0.32]\). Για την κατασκευή του διαγράμματος διατηρήσαμε σταθερές τις τιμές των υπόλοιπων παραμέτρων \(c = 5.7\) και \(b = 0.1\).

Οι περίοδοι των λύσεων ακολουθούν τον κανόνα \(2^{k},\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) Η ανάλυση του διαγράμματος μας επιτρέπει να  δούμε καθαρά τις τρεις πρώτες διακλαδώσεις. Εντούτοις, οι διακλαδώσεις συνεχίζονται ακολουθώντας τον παραπάνω κανόνα και για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου \(k\). Κατασκευάζοντας ένα πιο ακριβές διάγραμμα στην περιοχή των διακλαδώσεων παρουσιάζονται ακόμη περισσότερες διακλαδώσεις. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρείστε τις τιμές στους άξονες του διαγράμματος.

Εστίαση μιας μικρής περιοχής διακλαδώσεων στην περιοχή του διπλασιασμού των περιόδων της παραμέτρου \(c\). H αυτοομοιότητα των δύο διαγραμμάτων είναι προφανής. Το διάστημα εστίασης αντιστοιχεί στο εύρος τιμών της παραμέτρου \([4.1,\ 4.22]\) και το πεδίο τιμών περιορίζεται μόνο για τον κάτω κλάδο. Στο εστιασμένο διάγραμμα διακρίνονται και οι διακλαδώσεις μέχρι την περίοδο 32. Οι λύσεις όλο και μεγαλύτερων περιόδων κείνται σε όλο και μικρότερα διαστήματα τιμών της παραμέτρου. Για παράδειγμα, οι λύσεις της περιόδου 16 κείνται περίπου στο διάστημα \([4.1825,\ 4.2]\), ενώ οι λύσεις της περιόδου 32 κείνται στο διάστημα περίπου \([4.2,\ 4.2025]\).

Παρόλο που αποτελεί ένα μικρό τμήμα του αρχικού διαγράμματος, οι ομοιότητες που παρουσιάζει αυτή η περιοχή με το ολικό σχήμα του διπλασιασμού περιόδου είναι εντυπωσιακές. Πρόκειται για μία δομή που αναπαράγεται σε μικρότερες κλίμακες, δημιουργώντας έτσι μία πολύπλοκη συμπεριφορά του συστήματος η οποία τελικά αλλάζει το ποιοτικό περιεχόμενο των λύσεων  (μετάβαση από τις περιοδικές τροχιές στις χαοτικές). Αυτή η εντυπωσιακή επανάληψη ενός μοτίβου σε διαφορετικές κλίμακες καλείται αυτοομοιότητα. Στην προκείμενη περίπτωση του διαγράμματος διακλάδωσης έχουμε την εμφάνιση νέων διακλαδώσεων σε όλο και μικρότερες κλίμακες, με τέτοιον τρόπο ώστε, με κάθε νέα ομάδα διακλαδώσεων που εμφανίζεται να αντιστοιχούν σε διπλασιασμό περιόδου των λύσεων του συστήματος. Παρατηρείστε ότι το εύρος των τιμών της παραμέτρου που εκτείνονται διαδοχικές διακλαδώσεις φθίνει. Από την άλλη αποδεικνύεται ότι ο διπλασιασμός \(2^{k}\) συνεχίζεται καθώς \(k \rightarrow \infty\). Σύμφωνα με το δεδομένο αυτό, θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι στην περιοχή που εμφανίζεται το χάος, αντιστοιχούν λύσεις άπειρης περιόδου (αν αυτή η έκφραση έχει κάποιο νόημα). Ωστόσο μπορούμε να διαπιστώσουμε, βάσει των παραπάνω, ότι η μετάβαση από τις περιοδικές λύσεις στις χαοτικές, παρόλο που γίνεται σε ένα πεπερασμένο διάστημα τιμών της παραμέτρου, γίνεται με έναν ομαλό τρόπο. Εξαιτίας της αυτοομοιότητας στην περιοχή όπου εκτυλίσσεται το φαινόμενο του διπλασιασμού της περιόδου, συναντάμε λύσεις με περίοδο \(2^{k}\) για κάθε τιμή του \(k = 1,\ 2,\ \ldots\). Με άλλα λόγια, στην περιοχή του διπλασιασμού της περιόδου υπάρχουν διαστήματα για κάθε περίοδο \(2^{k}\). Στο "βασίλειο" της μη-γραμμικότητας το φαινόμενο της αυτοομοιότητας είναι πολύ σύνηθες και θα έχουμε την ευκαιρία να το συναντήσουμε πολλές φορές, όπως και το φαινόμενο του διπλασιασμού περιόδου.

Γραφική απεικόνιση των διαδοχικών διαστημάτων όπου κείνται λύσεις αυξανόμενης περιόδου του τύπου \(2^{k}\) για \(k = 1,\ 2,\ \ldots\). Καθώς αυξάνει η \(k\) το διάστημα τιμών της παραμέτρου ελέγχου όπου κείνται οι περιοδικές λύσεις μικραίνει. Ωστόσο, αποδεικνύεται μαθηματικά ότι το \(k\) μπορεί να πάρει οσοδήποτε μεγάλη τιμή.

Κατασκευάζοντας στον υπολογιστή το διάγραμμα διακλάδωσης και για την παράμετρο ελέγχου \(b\) προκύπτει το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος. Στο διάγραμμα αυτό παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές της παραμέτρου υπάρχουν κατά κύριο λόγο χαοτικές λύσεις οι οποίες καθώς αυξάνουμε την τιμή της παραμέτρου καταλήγουν σε ένα αντίστροφο φαινόμενο διπλασιασμού περιόδου. Δεν έχω καταλάβει ακόμα για πιο λόγο γίνεται κάτι τέτοιο, γιατί δηλαδή η παράμετρος \(b\) έχει μία συμπεριφορά αντίστροφη από εκείνη των δύο άλλων παραμέτρων ελέγχου.

To διάγραμμα διακλάδωσης για την παράμετρο ελέγχου \(b\) στο πεδίο τιμών \([0.001,\ 2.25]\). Το διάγραμμα κατασκευάστηκε με τις τιμές των παραμέτρων \(a\) και \(c\) να διατηρούνται σταθερές και ίσες με \(0.1\) και \(5.7\) αντίστοιχα. 

Η δομή του διπλασιασμού περιόδων παρουσιάζει ορισμένα καθολικά χαρακτηριστικά. Αυτό σημαίνει ότι όποτε παρατηρείται, ανεξάρτητα από τη μορφή των λύσεων, ή ακόμα ανεξάρτητα και από το σύστημα που μελετάμε, υπάρχουν κάποια μεγέθη που αφορούν στη δομή του, τα οποία παραμένουν ίδια. Όμως η ανάλυση αυτής της πολύ ενδιαφέρουσας ιδιότητας των διακλαδώσεων θα μας απασχολήσει σε μία μεταγενέστερη ανάρτηση, όπου θα έχουμε την ευκαιρία να δούμε περισσότερα διαγράμματα διακλάδωσης για διαφορετικά συστήματα.



__________________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ

Για το σύστημα Rossler και ορισμένες υπολογιστικές εφαρμογές μπορείτε να δείτε τις παλιότερες αναρτήσεις για την τροχιά του παράξενου ελκυστή [~] για την ευαισθησία του συστήματος στις αρχικές συνθήκες [~] καθώς επίσης και για ένα διάγραμμα των παραμέτρων ελέγχου [~].

- Μία συνδυαστική ανάλυση των διαγραμμάτων διακλάδωσης μαζί με έναν άλλο τύπο διαγράμματος των παραμέτρων ελέγχου [~]

Σκαλίζοντας την Ευαισθησία στις Αρχικές Συνθήκες

Μελετάμε το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες για ένα μη-γραμμικό σύστημα με τη βοήθεια υπολογιστικών εφαρμογών. Κάνουμε τα πρώτα βήματα χαρτογράφησης του χάους...

Το φαινόμενο της ευαισθησίας των αρχικών συνθηκών είναι μία ισχυρή ένδειξη για την εμφάνιση χαοτικής συμπεριφοράς σε ένα μη-γραμμικό σύστημα. Στην ανάρτηση αυτή, όπως και σε προηγούμενες [1] [~], χρησιμοποιούμε το μη-γραμμικό σύστημα του Rossler και διάφορες μικρές υπολογιστικές εφαρμογές που στοχεύουν στην καλύτερη κατανόηση του φαινομένου. 

Ο λόγος που επιλέγουμε το σύστημα του Rossler είναι ότι πρόκειται για ένα αρκετά απλό μη-γραμμικό σύστημα, αφού περιέχει μόνον έναν μη-γραμμικό όρο στις εξισώσεις του. Εκτός από τον μη-γραμμικό όρο, στις εξισώσεις του συστήματος υπάρχουν και τρεις παράμετροι ελέγχου. Αλλάζοντας τις τιμές των παραμέτρων και λύνοντας το σύστημα αριθμητικά προκύπτουν και οι διαφορετικές συμπεριφορές του συστήματος. Η συμπεριφορά του συστήματος αναφέρεται στο ποιοτικό περιεχόμενο της εκάστοτε λύσης. Μία σχηματική αναπαράσταση του περιεχομένου των λύσεων φαίνεται και στην τροχιά που ακολουθεί το σύστημα.

Σε προηγούμενη ανάρτηση [~] παρατηρήσαμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη λύσεων του συστήματος, οι περιοδικές και οι χαοτικές λύσεις. Οι τελευταίες, σε αντίθεση με τις περιοδικές λύσεις, εμφανίζουν ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Αυτό σημαίνει ότι αν επιλύσουμε αριθμητικά το σύστημα  με συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες και στη συνέχεια στις ίδιες συνθήκες εφαρμόσουμε μία μικρή διαταραχή, τότε η λύση που θα προκύψει λύνοντας ξανά το σύστημα μπορεί να μην έχει καμία σχέση με την αρχική λύση. 

Επομένως υπάρχουν λύσεις που ενώ μπορούν να ξεκινούν από πολύ γειτονικά σημεία (αρχικές συνθήκες) στον χώρο των φάσεων, η εξέλιξη της τροχιάς του συστήματος να είναι εντελώς διαφορετική. Σε κάποια χρονική στιγμή της εξέλιξης του συστήματος οι δύο λύσεις αρχίζουν να παίρνουν διαφορετικές τιμές, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. Η χρονική στιγμή που οι δύο λύσεις αποχωρίζονται η μία από την άλλη διαφέρει, καθώς επίσης και το μέγεθος της απόκλισης που μπορεί να έχουν. 

Για ποιες τιμές των παραμέτρων προκύπτουν χαοτικές λύσεις; Με γνώμονα αυτό το απλό ερώτημα και τις παραπάνω παρατηρήσεις έγραψα ένα μικρό πρόγραμμα σε Mathematica που μου έφτιαξε έναν "χάρτη" των χαοτικών και των περιοδικών λύσεων σε μία περιοχή τιμών των παραμέτρων ελέγχου $a$ και $c$ (στην $b$ καταχωρήσαμε μία σταθερή τιμή.). Ο χάρτης αυτός φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου ο χρωματικός κώδικας ακολουθεί τη σύμβαση βάσει της οποίας, οι περιοδικές λύσεις χρωματίζονται με λευκό και η διαβάθμιση του γκρι αντιστοιχεί στο μέγεθος της μέσης απόκλισης των τιμών των δύο λύσεων (της κανονικής και της διαταραγμένης).

Στο παραπάνω διάγραμμα παρουσιάζεται η κατανομή των χαοτικών λύσεων του συστήματος του Rossler σε μία περιοχή τιμών των παραμέτρων ελέγχου $a$ και $c$. Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί σε μία περιοχή τιμών $[0.15, 0.387]$ της παραμέτρου $a$ και ο κάθετος άξονας στην περιοχή τιμών $[4.3, 6]$ της παραμέτρου $c$. H παράμετρος $b$ διατηρεί τη σταθερή τιμή $b = 0.8$. Τα λευκά σημεία αναπαριστούν περιοδικές λύσεις, ενώ τα σκουρόχρωμα αναπαριστούν λύσεις που επηρεάζονται από το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες. Οι αρχικές συνθήκες που έχουν χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή όλων των λύσεων είναι $x_{0}= 1,\ y_{0} = 1,\ z_{0} = 1$ και για τις διαταραγμένες λύσεις προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες $x_{0}= 1+10^{-4} ,\ y_{0} = 1,\ z_{0} = 1$. Οι λύσεις που συγκρίνουμε είναι οι $x(t)$.

Το διάγραμμα αυτό μας δίνει μία πρώτη εντύπωση για τον τρόπο με τον οποίο είναι κατανεμημένες οι χαοτικές λύσεις του συστήματος καθώς αλλάζουμε τις τιμές των παραμέτρων, τουλάχιστον για μία περιοχή τιμών. Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί σε μία περιοχή τιμών της παραμέτρου $a$ και ο κάθετος άξονας σε μία περιοχή τιμών της παραμέτρου $c$. Στα αριστερά του διαγράμματος υπάρχει μία άσπρη περιοχή που αντιστοιχεί σε μία "κοιλάδα σταθερότητας", αφού το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες δεν εμφανίζεται, η μικρή διαταραχή στις αρχικές συνθήκες του συστήματος δεν προκαλεί κάποια σημαντική απόκλιση και έτσι προκύπτουν μόνο περιοδικές λύσεις. Αυξάνοντας όμως τις τιμές στον οριζόντιο άξονα (τιμές της παραμέτρου $a$) αρχίζουν να εμφανίζονται αχνά γκρι σημεία,ένδειξη που αντιστοιχεί στην εμφάνιση απόκλισης και το φαινόμενο της ευαισθησίας των λύσεων στις αρχικές συνθήκες αρχίζει να κάνει δειλά την εμφάνισή του. Παρατηρούμε ότι το φαινόμενο του χάους κάνει όλο και πιο έκδηλη την εμφάνισή του για ακόμη μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου $a$ με έναν ιδιαίτερα περίπλοκο τρόπο. Τα γκρι σημεία γίνονται όλο και πιο σκούρα και πυκνά, που σημαίνει ότι το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες γίνεται πιο έντονο. Ωστόσο, στην περιοχή αυτή παρεμβάλλονται ζώνες σταθερότητας και περιοχές περιοδικών λύσεων, οι οποίες διακόπτονται από χαοτικές λύσεις (σκουρόχρωμα σημεία)!

Στη συνέχεια χρησιμοποίησα το ίδιο πρόγραμμα για την αναπαράσταση μιας μικρότερης περιοχής αυξάνοντας την ανάλυση, έτσι ώστε να προκύψει μία πιο ακριβής "χαρτογράφηση" των χαοτικών λύσεων σε μία μικρότερη περιοχή του παραπάνω διαγράμματος. Επέλεξα μία περιοχή όπου μία "νησίδα σταθερότητας" περιβάλλεται από χαοτικές λύσεις. Το διάγραμμα που προέκυψε παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα.

Το διάγραμμα στα δεξιά αναπαριστά μία μικρή περιοχή του αρχικού διαγράμματος, όπως φαίνεται στα αριστερά. Το εύρος τιμών της περιοχής αντιστοιχεί στο διάστημα $[0.258,\ 0.2688]$ για την παράμετρο $a$ (οριζόντιος άξονας) και στο διάστημα $[5.7,\ 5.93]$ για την παράμετρο $c$. Οι αρχικές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν είναι ίδιες με του αρχικού διαγράμματος.

Το διάγραμμα αυτό μας αποκαλύπτει ότι τα πράγματα είναι ακόμη πιο περίπλοκα από ότι αρχικά φαίνονταν! Mία φαινομενικά λευκή νησίδα που περιβάλλεται από χαοτικές λύσεις στο αρχικό διάγραμμα, αποκαλύπτει ότι έχει μία πιο λεπτή δομή. Στο καινούργιο διάγραμμα παρατηρούμε νέες ζώνες σταθερότητας που εναλλάσσονται από ζώνες αστάθειας οι οποίες είναι αδιόρατες στην ανάλυση του αρχικού διαγράμματος. Στην περιοχή των χαοτικών λύσεων παρατηρούμε επίσης λεπτές ζώνες όπου η αστάθεια των λύσεων είναι μεγαλύτερη. Παρατηρείστε, για παράδειγμα, την γκρίζα λεπτή ζώνη στο κάτω αριστερό μέρος του νέου διαγράμματος.

Στη συνέχεια αναρωτήθηκα κατά πόσο η αρχική μορφή του διαγράμματος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που χρησιμοποίησα. Αλλάζοντας ελάχιστα το πρόγραμμα έτρεξα ξανά όλους τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας κάθε φορά τυχαίες τιμές στις αρχικές συνθήκες. Το διάγραμμα που προέκυψε παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα δεξιά. Στο αριστερό μέρος του σχήματος έχω τοποθετήσει το αρχικό διάγραμμα χάριν σύγκρισης.

Το αριστερό διάγραμμα αντιστοιχεί στη διάκριση των χαοτικών λύσεων του συστήματος του Rossler χρησιμοποιώντας για όλους τους υπολογισμούς τις ίδιες αρχικές συνθήκες. Το διπλανό διάγραμμα (δεξιά) προέκυψε από τους ίδιους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας κάθε φορά τυχαίες αρχικές συνθήκες. Παρατηρείστε ότι το εύρος στον οριζόντιο άξονα διαφέρει στα δύο διαγράμματα (το εύρος τιμών της παραμέτρου $a$ είναι λίγο μικρότερο στο δεξιό). 

Παρόλο που οι διαφορές στα διαγράμματα είναι εμφανείς, η γενική δομή του διαγράμματος διατηρείται. Οι μεγάλες ζώνες σταθερότητας υπάρχουν ακόμα κι αν χρησιμοποιήσουμε τυχαίες αρχικές συνθήκες.

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι γιατί εμφανίζονται αυτές οι ζώνες σταθερότητας και γιατί έχουν τη μορφή που έχουν, ή γιατί είναι συγκεντρωμένες οι περιοδικές λύσεις σε τέτοιες ζώνες. Ίσως να υπάρχει κάποια περιπλοκή οριακή συνθήκη η οποία απ' ό,τι φαίνεται είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες. Αναζήτησα στην βιβλιογραφία παρόμοια διαγράμματα, αλλά δυστυχώς δε βρήκα κάτι ανάλογο. Όποιος λοιπόν έχει κάποια ιδέα για αυτό, ή για το πώς μπορούμε να μελετήσουμε ερωτήματα όπως τα παραπάνω ας αφήσει το σχόλιό του. Όπως και να έχει όμως, φαίνεται ότι το χάος εισέρχεται με έναν ομαλό τρόπο στις λύσεις του συστήματος, χωρίς εντούτοις να αποκτά την απόλυτη κυριαρχία. Οι περιοδικές λύσεις παρεμβάλλονται παντού και εναλλάσσονται με αρκετά περίπλοκο τρόπο με τις χαοτικές. Το φαινόμενο αυτό θα έχουμε την ευκαιρία να το ξαναδούμε από μία διαφορετική σκοπιά που θα βοηθήσει κάπως να προσεγγίσουμε ερωτήματα όπως  τα παραπάνω.


___________________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ.

[1] Σε αυτό το ιστολόγιο υπάρχει ήδη μία σειρά αναρτήσεων σχετικά με τα χαοτικά συστήματα, που συνοδεύονται από κάποιες διαδραστικές εφαρμογές με CDF. Βλέπε εδώ [~].

- Μία σχετική ανάλυση που αφορά στην συμπεριφορά του συστήματος μεταβάλλοντας τις τιμές των παραμέτρων ελέγχου γίνεται με τα διαγράμματα διακλάδωσης [~]

- Μία απόπειρα ενοποίησης του παραπάνω διαγράμματος με τα διαγράμματα διακλάδωσης γίνεται σε μία ξεχωριστή ανάρτηση [~]

Θέματα Αρχικών Συνθηκών και τα Φτερά της Πεταλούδας

Ο ρόλος των αρχικών συνθηκών αποκαλύπτει την ευαισθησία ενός μη-γραμμικού συστήματος και λεπτές ισορροπίες που θα μας επιτρέψουν να κατανοήσουμε καλύτερα τη συμπεριφορά του. Ωστόσο, με μία πιο προσεκτική ματιά δε φαίνεται να είναι όλα τόσο αθώα. Το θεωρητικό μας οικοδόμημα τρίζει συθέμελα και καταρρέει από το κούνημα των φτερών μιας πεταλούδας...
*Σημείωση - Στην ανάρτηση αυτή υπάρχει μία διαδραστική εφαρμογή. Αν έχετε το σχετικό plugin θα ενεργοποιηθεί, διαφορετικά στη θέση της  θα βλέπετε μία στατική εικόνα. Για να κατεβάσετε το plugin (CDF της Wolfram Research) εντελώς δωρεάν, πατήστε εδώ >> [~].

Χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα που δημιουργούνται από την αριθμητική επίλυση του συστήματος Rössler [~] διακρίναμε δύο βασικούς τύπους τροχιών, που παρατηρούνται σε κάθε μη-γραμμικό σύστημα.

Για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων ελέγχου του συστήματος, από τη μία μπορούν να προκύψουν απλοί ελκυστές τροχιών, που εμφανίζουν μία περιοδικότητα, και από την άλλη υπάρχουν ελκυστές (για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων ελέγχου) που είναι πυκνότεροι και, διαισθητικά, αντιστοιχούν σε μη-περιοδικές τροχιές. 

Σε ό,τι έχουμε αναφέρει μέχρι στιγμής, έχουμε παραλείψει σιωπηλά τον ρόλο των αρχικών συνθηκών.

Ο προσδιορισμός των αρχικών συνθηκών είναι απαραίτητος για την αριθμητική επίλυση ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων, όπως είναι εκείνο του Rössler. Όσες εφαρμογές  παρουσιάστηκαν, μαζί με αυτές που παρουσιάζονται στη συνέχεια, απαιτούν την αριθμητική επίλυση του συστήματος και επομένως τον προσδιορισμό των αρχικών συνθηκών.

Άρα, αυτό που κάναμε ήταν να σταθεροποιούμε από την αρχή τις αρχικές συνθήκες και, μεταβάλλοντας μόνο τις παραμέτρους ελέγχου παρατηρούσαμε τις αποκρίσεις του συστήματος για τις συγκεκριμένες αλλαγές.

Τώρα θα κάνουμε το αντίθετο. Θα κρατήσουμε, δηλαδή, σταθερές τις τιμές των παραμέτρων ελέγχου και θα αλλάζουμε τις αρχικές συνθήκες, παρατηρώντας τη συμπεριφορά του συστήματος με τη βοήθεια νέων διαγραμμάτων και γραφικών παραστάσεων.

Υπολογιστικό πείραμα - Η επίδραση των αρχικών συνθηκών στην λύση ενός μη-γραμμικού συστήματος

Δουλεύοντας με τις αρχικές συνθήκες, όπως θα διαπιστώσουμε σύντομα, αποκτούμε μία πιο εποπτική εικόνα για την συμπεριφορά των λύσεων ενός μη-γραμμικού συστήματος. Ξεκινάμε με την παρακάτω εφαρμογή, η οποία είναι μία η ανανεωμένη έκδοση μιας άλλης που παρουσιάσαμε σε προηγούμενη ανάρτηση [~]. Εδώ, λύνουμε ξανά το μη-γραμμικό σύστημα του Rössler, και, εκτός από τις τρεις παραμέτρους ελέγχου, μπορείτε επίσης να αλλάζετε και τις αρχικές συνθήκες.

Η εφαρμογή έχει ως αρχική κατάσταση μία περίπλοκη τροχιά, όπως απεικονίζεται στο διάγραμμα. Δοκιμάστε να αλλάξετε τις αρχικές συνθήκες και παρατηρήστε πως αποκρίνεται το σύστημα. Αλλάζει καθόλου η τροχιά; Έπειτα, αλλάξτε τις τιμές των παραμέτρων έτσι ώστε να πάρετε διαφορετικές αλλά το ίδιο περίπλοκες τροχιές. Για καθεμία από αυτές τις τροχιές που επιλέγετε, δοκιμάστε να αλλάζετε τις αρχικές συνθήκες. Έτσι θα καταλήξετε σε ένα διαισθητικό συμπέρασμα για τις συγκεκριμένες τροχιές. Μπορείτε να επαναλάβετε το ίδιο υπολογιστικό πείραμα για περιοδικές τροχιές που είναι πιο απλές και να καταλήξετε σε κάποιο ανάλογο συμπέρασμα.

Με αυτό τον τρόπο καταλήγουμε σε μία θεμελιώδη διαπίστωση. Οι αρχικές συνθήκες μπορούν να επηρεάσουν τις χαοτικές τροχιές, ενώ οι περιοδικές παραμένουν ανεπηρέαστες και δεν εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. Σε αυτή τη διαπίστωση υπάρχει μία υποκείμενη έννοια σταθερότητας. Δηλαδή, η ευαισθησία των λύσεων στις αρχικές συνθήκες μπορεί να αποτελέσει κριτήριο για τον χαρακτηρισμό της σταθερότητάς τους.

Η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες

Το παραπάνω υπολογιστικό πείραμα αποτελεί μία ένδειξη ότι ο ρόλος των αρχικών συνθηκών είναι αρκετά καθοριστικός στην επίλυση του συστήματος. Μπορεί να μην επηρεάζει τις περιοδικές τροχιές, αλλά επηρεάζουν σίγουρα τις πιο περίπλοκες λύσεις, τις οποίες θα τις ονομάσουμε χαοτικές λύσεις.

Για τη συγκεκριμένη ομάδα των λύσεων, μία ελάχιστη αλλαγή στις αρχικές συνθήκες είναι ικανή να δώσει λύσεις εντελώς διαφορετικές μεταξύ τους. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται ο ελκυστής του  Rössler για τέσσερις διαφορετικές αρχικές συνθήκες, που διαφέρουν ελάχιστα.

Έχοντας σταθεροποιήσει τις τιμές των παραμέτρων ελέγχου $a = 0.2,\ b = 0.2,\ c = 4.5$, λύνουμε το σύστημα του Rössler για τις παραπάνω αρχικές συνθήκες, που ενώ διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους (σε μία τάξη μεγέθους $10^{-4}$) οι τροχιές που προκύπτουν παρουσιάζουν σημαντικές διαφορές.

Αυτή η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες αποτελεί σήμα κατατεθέν του φαινομένου του χάους και σε συνδυασμό με την ύπαρξη της μη-γραμμικότητας στις εξισώσεις προκαλεί την απρόβλεπτη συμπεριφορά του συστήματος για ορισμένους κατάλληλους συνδυασμούς των παραμέτρων ελέγχου. Πρόκειται για μία αναγκαία συνθήκη, όχι όμως και ικανή όσον αφορά στην ύπαρξη χαοτικών λύσεων ενός συστήματος. Για τη μαθηματική θεμελίωση του χάους απαιτούνται κι άλλες συνθήκες, όμως η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες μπορεί να παρατηρηθεί σε φυσικά φαινόμενα και για αυτό είναι ίσως το πιο δημοφιλές γνώρισμα για το φαινόμενο του χάους.


Το Φαινόμενο της Πεταλούδας


Η ευαισθησία του συστήματος στις αρχικές συνθήκες φαίνεται να εγείρει σημαντικά ερωτήματα σχετικά με την ικανότητά μας να προβλέψουμε την εξέλιξη ενός μη-γραμμικού συστήματος. Ο Lorenz  ήταν ο πρώτος που το ανέφερε (όπως το γνωρίζουμε σήμερα) σε μία σύντομη αναφορά το 1972 [1], ενώ υπάρχουν μαρτυρίες ότι κάτι ανάλογο είχε εκφραστεί προς το τέλος του 19ου αιώνα, [2].

Στην ομιλία του 1972 ο Lorenz, αναφέρει μία ανησυχία του σχετικά με τα συστήματα που εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά. Οι παρατηρήσεις του σχετίζονται άμεσα με τα υπολογιστικά πειράματα που έκανε το 1962, στα οποία προσομοίαζε τα ρεύματα των αερίων μαζών της ατμόσφαιρας. Στα αποτελέσματα που προέκυπταν παρατήρησε μία ανεξήγητη ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες που απειλούσε την προβλεψιμότητα του μοντέλου του.

O Lorenz πίστευε εκείνο που πίστευαν και όλες οι γενεές φυσικών (και όχι μόνο) από την εποχή του Newton και έπειτα. Αφού ορίσουμε σωστά τις εξισώσεις ενός συστήματος, η λύσεις που θα προκύψουν θα μπορούν να μας προσδιορίσουν επακριβώς την συμπεριφορά του συστήματος σε μελλοντικές χρονικές στιγμές. Ο Lorenz στις υπολογιστικές του προσομοιώσεις, όριζε κάποιες αρχικές συνθήκες στο σύστημά του, έτρεχε τον υπολογιστή του και στο τέλος έπαιρνε τις χρονοσειρές των λύσεων, δηλαδή μία ακολουθία τιμών των απαραίτητων ποσοτήτων διατεταγμένες στον άξονα του χρόνου. Αυτές οι χρονοσειρές προσδιορίζουν και τη συμπεριφορά του συστήματος σε μελλοντικούς χρόνους.

Όμως αυτό που παρατήρησε ήταν ότι, αν άλλαζε ελάχιστα τις αρχικές συνθήκες του τότε οι χρονοσειρές που προέκυπταν από κάποια χρονική στιγμή και έπειτα δεν είχαν καμία σχέση με τις προηγούμενες αρχικές συνθήκες.  Έτσι, παρόλο που οι λύσεις ξεκινούσαν από πολύ κοντινά σημεία κατέληγαν να εκφράζουν εντελώς διαφορετικές συμπεριφορές του συστήματος. Μία ελάχιστη διαταραχή στις αρχικές συνθήκες μπορεί να προκληθεί από το παραμικρό, και το παράδειγμα που χρησιμοποιεί ο Lorenz είναι ένας ισχυρισμός που φαίνεται από πρώτη άποψη ακραίο, αλλά βάσιμο. Στην 139η συνάντηση του Αμερικανικού Συλλόγου για την προαγωγή της επιστήμης, ο Lorenz παρουσίασε τον προβληματισμό του για το συγκεκριμένο θέμα με τον τίτλο "Προβλεψιμότητα: Μπορεί το φτερούγισμα μιας πεταλούδας στην Βραζιλία να προκαλέσει μία θύελλα στο Τέξας;"

Για όσους είναι έτοιμοι να βγουν με τις απόχες τους προς το κυνήγι πεταλούδων για να αποτρέψουν κάποια επικείμενη θύελλα, πρέπει να τους προειδοποιήσουμε ότι το παράδειγμα του Lorenz είναι καθαρά σχηματικό (Ok, κρύο αστείο... ομολογώ ότι θα προτιμούσα να συναντούσα τέτοιους τύπους...). Ο Lorenz ειδικότερα αναφέρει

Αν ένα και μοναδικό πετάρισμα των φτερών μιας πεταλούδας μπορεί να συντελέσει στη δημιουργία μιας θύελλας, το ίδιο επίσης θα είναι δυνατόν να προκληθεί για όλα τα προηγούμενα ή τα επόμενα πεταρίσματά της, χωρίς να χρειαστεί να αναφέρω για δραστηριότητες αμέτρητων άλλων πιο ισχυρών πλασμάτων, συμπεριλαμβανομένου και του δικού μας είδους.
Αν το φτερούγισμα μιας πεταλούδας μπορεί να συντελέσει στη δημιουργία μιας θύελλας, μπορεί ισοδύναμα να συντελέσει και στην αποτροπή της.
Γενικότερα, αυτό που προτείνω είναι ότι, με το πέρασμα του χρόνου ελάχιστες διαταραχές δεν αυξάνουν ούτε μειώνουν τη συχνότητα να συμβούν διάφορα καιρικά φαινόμενα, όπως οι θύελλες. Αυτό που μπορούν να κάνουν είναι να αλλάξουν τη σειρά με την οποία συμβαίνουν τέτοια φαινόμενα. Το ερώτημα που μας απασχολεί ουσιαστικά είναι αν, για παράδειγμα, δύο συγκεκριμένες καιρικές καταστάσεις που διαφέρουν όσο μία ελάχιστη διαταραχή προκαλούμενη από μία πεταλούδα, ύστερα από κάποιο διάστημα της εξέλιξής τους θα διαφέρουν τόσο ώστε στη μία κατάσταση να εμφανίζεται μία θύελλα. Σε πιο τεχνική ορολογία, η συμπεριφορά της ατμόσφαιρας είναι ασταθής ως προς τις διαταραχές μικρού πλάτους; Η σύνδεση του ερωτήματος αυτού με την ικανότητά μας να προβλέψουμε τον καιρό είναι προφανής " 

(δική μου ελεύθερη μετάφραση από [1] - καλύτερα να διαβάσετε το πρωτότυπο)

Αργότερα, το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες εκτός από τη μετεωρολογία εμφανίστηκε σχεδόν παντού, από το ζωικό βασίλειο και τα συστήματα θηραμάτων και θηρευτών μέχρι και στα χρηματιστηριακά μοντέλα.


______________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ

[1]- Την πρωτότυπη έκθεση του Lorenz (1972) μπορείτε να τη βρείτε σε μορφή PDF [~]
[2] - Για την ιστορία του Φαινομένου της Πεταλούδας δείτε το άρθρο του 2003 από τον Robert C. Hilborn [~]

Παρουσίαση του συστήματος Rössler [~]
Εισαγωγή στους παράξενους ελκυστές [~] 
Διαγραμμα των παραμέτρων ελέγχου που βασίζεται στο φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες [~].

Ψηλαφώντας το Χάος - Ένας απλός χαοτικός ελκυστής.

Μελετάμε ένα σύστημα απλών εξισώσεων που παράγουν έναν χαοτικό ελκυστή, ο οποίος αποκαλύπτει όλη την πολυπλοκότητα που υποκρύπτουν οι μη-γραμμικοί όροι των εξίσωσεων.

*Σημείωση - Στην ανάρτηση αυτή υπάρχουν ορισμένες διαδραστικές εφαρμογές. Αν έχετε το σχετικό plugin θα μπορείτε να αλληλεπιδράσετε μαζί τους, διαφορετικά θα τις βλέπετε ως εικόνες. Για να κατεβάσετε το plugin (CDF της Wolfram Research) πατήστε εδώ >> [~].

Σε προηγούμενη ανάρτηση [~] αναφερθήκαμε σε έννοιες όπως η φάση και ο χώρος φάσης ενός συστήματος, καθώς επίσης η τροχιά και στον τρόπο που ενωποιούνται όλα αυτά για να καταλήξουμε στην έννοια του παράξενου ελκυστή. Ο παράξενος ελκυστής είναι ένα σενάριο μετάβασης στην χαοτική συμπερισφορά ενός συστήματος.

Στην ανάρτηση αυτή θα εξετάσουμε έναν παράξενο ελκυστή που δημιουργείται από απλούς μη-γραμμικούς όρους. Έχοντας κατασκευάσει ο Lorentz τον δικό του παράξενο ελκυστή άρχισαν να δημιουργούνται πλήθος ενδιαφέροντων ερωτημάτων για το ποιες είναι η ελάχιστες απαιτήσεις της μη-γραμμικότητας που εμφανίζουν ανάλογες δομές.

Ο ελκυστής προέκυψε από το σύστημα που κατασκέυασε ο Otto Rössler το 1976 για αυτό και μόνο το σκοπό [1], χρησιμοποιώντας απλούς μη-γραμμικούς όρους. Αργότερα, το σύστημα του Rössler βρέθηκε ότι μπορεί να προσομοιώσει συστήματα χημικών ταλαντώσεων.

Ειδικότερα, το σύστημα του Rössler περιέχει μόνο έναν απλό μη-γραμμικό όρο και είναι ένα τριδιάστατο σύστημα που περιγράφεται από τις εξισώσεις [2]

\[
\begin{align}
\frac{d{x}}{d{t}} &= - y - z\\
\frac{d{y}}{d{t}}&= x + \alpha y\\
\frac{d{z}}{d{t}}&= b + z(x - c)
\end{align}
\]

Ο μη-γραμμικός όρος είναι ο $z\cdot x$ στην τελευταία εξίσωση. Αυτός ο όρος σε συνδυασμό με τις υπόλοιπες εξισώσεις προκαλεί την χαοτική συμπεριφορά για ορισμένες τιμές των παραμέτρων. Το σύστημα έχει τρεις παραμέτρους. Οι παράμετροι αυτές ονομάζονται και παράμετροι ελέγχου, γιατί ελέγχουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Και αυτή η συμπεριφορά αποτυπώνεται στον ελκυστή που διαμορφώνει η τροχιά του συστήματος στον τριδιάστατο φασικό χώρο.

Στην παρακάτω εφάρμογη λύνουμε το σύστημα του Rössler αριθμητικά και κατασκευάζουμε την τρόχια που διαμορφώνει τον παράξενο ελκυστή. Παρατηρείστε ότι για ορισμένες τιμές η τροχιά είναι αρκετά απλή και περιορίζεται σε έναν βρόχο στον τριδιάστατο χώρο. Άλλες φορές πάλι, ο βρόχος γίνεται πιο περιπλοκος, ενώ υπάρχουν και περιπτώσεις όπου δεν έχουμε καν βρόχο (δηλαδή η τροχιά δεν κλείνει), παρόλο που βρίσκεται δεσμευμένη σε μία περιοχή.

Όταν η τροχιά αντιστοιχεί σε έναν απλό βρόχο τότε το σύστημα έχει περίοδο 1. Διαισθητικά αυτό είναι εύκολο να το καταλάβει κάποιος. Η τροχιά ξεκινάει από κάποιο σημείο του βρόχου και μετά από ορισμένο χρονικό διάστημα καταλήγει πάλι στο σημείο όπου ξεκίνησε, ακολουθώντας ξανά την ίδια πορεία. Αυτή είναι μία διαισθητική εικόνα μιας περιοδικής κίνησης. Όταν ο βρόχος κλείνει μετά από δύο κυκλικές διαδρομές, τότε το σύστημα έχει λύσεις περιόδου 2 κ.ο.κ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο ελκυστής που προκύπτει από λύσεις περιόδου 1, περιόδου 2, περιόδου 4.

 

Ίσως το τριδιάστατο γράφημα του ελκυστή να μην είναι και τόσο βοηθητικό ως προς την αναγνώριση της περιόδου. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται μία από τις τρεις προβολές του γραφήματος. Η πλήρης γραφική παράσταση μαζί με τις προβολές του ελκυστή φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. 

Τριδιάστατη γραφική παράσταση του ελκυστή του Rössler μαζί με τις τρεις ξεχωριστές προβολές του. Η προβολή του επιπέδου x-y χρησιμοποιείται για την γραφική αναπαράσταση των περιοδικών και χαοτικών λύσεων. Οι τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν για να κατασκευάσουν τον συγκεκριμένο ελκυστή είναι a = 0.3, b = 0.4, c = 4.44.

Στην παρακάτω εφαρμογή μπορείτε να δοκιμάσετε διάφορες τιμές της παραμέτρου c παρατηρώντας τις αλλαγές στην γραφική παράσταση της προβολής x-y του ελκυστή και διατηρώντας τις υπόλοιπες τιμές των παραμέτρων σταθερές, a = b = 0.1. Η συγκεκριμένη προβολή αποτελεί μία εύχρηστη άποψη του ελκυστή για την απεικόνιση των περιοδικών τροχιών. 

Στο διάγραμμα της παραπάνω εφαρμογής το σημείο $(0,0)$ (δηλαδή η αρχή των αξόνων) βρίσκεται στο κέντρο του διαγράμματος χωρίζοντας έτσι το επίπεδο τέσσερα τεταρτημόρια. Αν επιλέξετε ένα τεταρτημόριο εκτός από το 1ο (πάνω δέξια,ή αλλιώς, στην "βορειοανατολική" περιοχή του διαγράμματος) και μετρήσετε τα ξεχωριστά τμήματα της τροχιάς θα βρείτε την περίοδο της τροχιάς.

Εκτός από τις περιοδικές τροχιές, υπάρχουν τιμές της παραμέτρου c, για τις οποίες η γραφική παράσταση γίνεται εμφανώς πιο περίπλοκη, και είναι τότε που έχουμε μία αμφιβολία για τη σωστή καταμέτρηση των επιμέρους τμημάτων της τροχιάς. Το γεγονός αυτό σημαίνει ότι βρισκόμαστε σε περιοχές χαοτικών ή σχεδόν χαοτικών λύσεων, που είναι και οι πιο ενδιαφέρουσες. Σύμφωνα με το παρακάτω διάγραμμα και βάσει αυτού του διαισθητικού κανόνα, για την τιμή c = 4, επιλέγοντας το 2o τεταρτημόριο ("βορειοδυτική" περιοχή του διαγράμματος) υπάρχει μόνο ένα και μοναδικό τμήμα της τροχιάς (άρα πρόκειται για μία λύση περιόδου 1).

προέλευση: wikipedia

Μέσω της παραπάνω εφαρμογής μπορείτε να επαληθεύσετε τα γραφήματα της προβολής με τα αντίστοιχα γραφήματα του παραπάνω σχήματος από το wikipedia (στο λήμμα Rössler attractor), αλλά και να παρατηρήσετε τις μεταβολές του γραφήματος για τις ενδιάμεσες τιμές.



____________________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ

[1] O. E. Rössler (1976). "An Equation for Continuous Chaos". Physics Letters 57A (5): 397–398.
[2] ευχαριστώ τον Arkanoid από το http://www.mathcom.gr/ που επισήμανε ένα λάθος στη διατύπωση των εξισώσεων.

- Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα για το σύστημα Rössler, στην ανάρτηση

• Θέματα αρχικών συνθηκών και τα φτερά της πεταλούδας [~]

Η ακαταμάχητη έλξη των παράξενων ελκυστών

Στις θρυλικές Διαλέξεις Φυσικής του Feynmann ο μεγάλος Φυσικός αναφέρει

Η επόμενη μεγάλη κορύφωση του ανθρώπινου πνεύματος θα είναι η κατασκευή μιας μεθόδου κατανόησης του ποιοτικού περιεχομένου των εξισώσεων. Σήμερα κάτι τέτοιο  δεν είναι εφικτό. Σήμερα δεν μπορούμε να δούμε στις εξισώσεις των υδάτινων ροών τις στροβιλώδεις δομές της τύρβης που παρατηρεί κάποιος μεταξύ δύο περιστρεφόμενων κυλίνδρων. Δεν μπορούμε στις μέρες μας να αποφανθούμε αν η εξίσωση Schrondinger περιέχει βατράχια, μουσικούς συνθέτες, ή ηθική - ή ακόμα αν δεν περιέχει.

Οι πρώτη έκδοση των Διαλέξεων έγινε πριν ακριβώς 50 χρόνια, το 1961. Την ίδια χρονιά ο E.G. Lorentz είχε ήδη συγκεντρώσει τις μετρήσεις των αριθμητικών λύσεων από τον υπολογιστή του ΜΙΤ, για ένα μοντέλο που προσομοίωνε την ροή των νεφών στην ατμόσφαιρα. Το Νοέμβριο της ίδιας χρονιάς, ο Ueda θα αρχίσει να ασχολείται με τις "θρυψαλλισμένες ωοειδείς δομές", όπως είχε αναφέρει, αντί για τις λείες κλειστές καμπύλες που περίμενε να παρατηρήσει κατά την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων που προσομοίωνε ένα πολύπλοκο σύστημα ταλαντωτών. Στα επόμενα χρόνια, φυσικοί, βιολόγοι, χημικοί και μηχανικοί θα αρχίσουν να συναντούν όλο και πιο συχνά στα υπολογιστικά τους μοντέλα μία απρόβλεπτη ευαισθησία στην συμπεριφορά των λύσεων που τους έφεραναν αντιμέτωπους με καινούργια φαινόμενα και διάφορα σενάρια ενός ελεγχόμενου τρόπου μετάβασης στο χαός και στην πολυπλοκότητα.

O Lorentz είναι ιστορικά ο πρώτος που μελέτησε τη χαοτική συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος, δηλαδή ενός συστήματος που εξελίσσεται χρονικά παρουσιάζοντας ενίοτε παράξενη συμπεριφορά. Ειδικότερα, αυτό που προσπαθούσε να κάνει ο Lorentz ήταν να κατασκευάσει μαθηματικά μοντέλα για τον τρόπο που κινούνται τα ρεύματα αέρα στην ατμόσφαιρα, λύνοντας αριθμητικά τις εξισώσεις.

Για να το κάνει κάποιος αυτό, θα πρέπει να ορίσει αυτό που λέμε αρχικές συνθήκες, δηλαδή να θέσει αρχικές τιμές στις παραμέτρους του συστήματος, καθώς επίσης και στις μεταβλητές που εξαρτώνται από το χρόνο. Ξεκινώντας από αυτές τις αρχικές τιμές, ένας υπολογιστής δίνει διαδοχικές τιμές στη μεταβλητή του χρόνου και για καθεμία από αυτές υπολογίζει και αποθηκεύει την αριθμητική τιμή που παίρνει η μεταβλητή. Έτσι περίπου ο υπολογιστής κατασκευάζει την αριθμητική λύση του συστήματος. Η ακολουθία των τιμών που λαμβάνει μία μεταβλητή για διαδοχικές τιμές του χρόνου αποτελεί την τροχιά της μεταβλητής, μία έννοια ιδιαίτερα χρήσιμη.

Για το σύστημα του Lorentz και τα νέφη στην ατμόσφαιρα, οι αρχικές συνθήκες καθορίζονται από μετρήσεις της θερμοκρασίας, της τοπικής πίεσης του αέρα και άλλες παραμέτρους, καθώς επίσης και και μία αρχική κατάσταση της θέσης και της ταχύτητας των νεφών. Η θέση και η ταχύτητα είναι που εξελίσσοται στο χρόνο. Για κάθε χρονική στιγμή, όλες οι συντεταγμένες της θέσης και της ταχύτητας προσδιορίζουν την φάση στον φασικό χώρο του συστήματος. Ο φασικός χώρος είναι ένας μαθηματικός χώρος του συνόλου όλων των πιθανών καταστάσεων του συστήματος που καλούνται και φάσεις. Μία φάση προσδιορίζει πλήρως την κατάσταση του συστήματος για μία χρονική στιγμή. Δηλαδή μία φάση περιέχει όλες εκείνες τις τιμές των μεταβλητών που αρκεί να χρησιμοποιήσουμε προκειμένου να προσδιορίσουμε μεταγενέστερες καταστάσεις, βασιζόμενοι όμως στις ίδιες αρχικές συνθήκες της προγενέστερης κατάστασης. Η τροχιά κατασκευάζεται από ένα σύνολο διαδοχικών φάσεων στον φασικό χώρο, περιγράφοντας έτσι την εξέλιξη του συστήματος.

Ο Lorentz αυτό που παρατήρησε ήταν τροχιές εξαιρετικά περίπλοκες, οι οποίες μπορούσαν να αλλάζουν εξαιρετικά τη μορφή τους αν άλλαζε τις αρχικές συνθήκες. Δηλαδή, διαφορετικές αρχικές συνθήκες αντιστοιχούν και σε ένα διαφορετικό σενάριο εξέλιξης του συστήματος, κάτι το οποίο είναι αναμενόμενο και επιθυμητό ως αποτέλεσμα. Μαζί, όμως με αυτό, ο Lorentz παρατήρησε και κάτι άλλο. Αν άλλαζε τις αρχικές συνθήκες κατα το ελάχιστο, η νέα τροχιά που προέκυπτε σε ορισμένες περιπτώσεις δεν είχε καμία σχέση με την προηγούμενη. Αυτό ισοδυναμεί με το να υποστηρίξουμε ότι δύο σημεία του φασικού χώρου που είναι γειτονικά, ή βρίσκονται πολύ κοντά μεταξύ τους, μπορεί, αν τεθούν ως αρχικές συνθήκες στο σύστημα, να μας δώσουν εντελώς διαφορετικές τροχιές. Έτσι, το σύστημα αποκτούσε την ιδιότητα της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες που έθετε ένα μείζον θέμα ως προς την ακρίβεια που πρέπει να έχουν οι μετρήσεις μας τελικά για να προβλέψουμε σωστά την εξέλιξη του συστήματός μας (μήπως πρόκειται για έναν βασικό λόγο που εξαιτίας του δεν μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις μακράς περιόδου για τον καιρό;)

Επίσης οι τροχιές αυτές, παρόλο που μπορεί να είναι εξαιρετικά περίπλοκες, τα σημεία του φασικού χώρου μπορούν να παραμένουν δεσμευμένα σε μία περιοχή, χωρίς να διαφεύγουν. Τέτοιες δομές στο φασικό χώρο καλούνται παράξενοι ελκυστές και αποτελούν μία από τις πολλές υπογραφές του χάους στον φασικό χώρο. Ο παραπάνω ορισμός βεβαια στερείται της απαιτούμενης μαθηματικής αυστηρότητας, μιας και πρόκειται για μαθηματικά αντικείμενα. Ωστόσο, σκοπός της συγκεκριμένης ανάρτησης είναι να αποφύγει κάθε τέτοια αυστηρότητα και να αναδείξει την ομορφιά αυτών των αντικειμένων, όπως παρουσιάζεται στις γραφικές τους παραστάσεις (όποτε κάτι τέτοιο είναι δυνατόν).

Οι τροχιές που προκύπτουν σε τέτοιου είδους συστήματα μπορούν να δημιουργήσουν παράξενους ελκυστές που είναι αρκετά περίπλοκοι. Ορισμένοι ελκυστές για το σύστημα του Lorentz φαίνονται στα παρακάτω σχήματα, για διάφορες τιμές των παραμέτρων. Οι τροχιές έχουν κατασκευαστεί με 20 000 000 διαδοχικά σημεία. Οι διαβαθμίσεις του γκρι αντιστοιχούν στην πυκνότητα των σημείων, με τις φωτεινότερες περιοχές να έχουν τη μεγαλύτερη πυκνότητα.

Ελκυστές του συστήματος Lorentz για τρεις διαφορετικές τιμές των παραμέτρων.
(Πατήστε πάνω στην εικόνα για να τη δείτε σε μεγαλύτερο μέγεθος)

Εκτός από το σύστημα του Lorentz, μπορούμε φυσικά να μελετήσουμε και άλλα συστήματα. Για παράδειγμα στην παρακάτω εικόνα εμφανίζονται τροχιές που προκύπτουν για ένα μη-γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων, που οι γραμμικοί του όροι αντιστοιχούν σε ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς συναρτήσεις.

Ελκυστές του συστήματος Pickover. 
(Πατήστε πάνω στην εικόνα για να τη δείτε σε μεγαλύτερο μέγεθος)

Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται ενδεικτικές τροχιές ενός μη-γραμμικού συστήματος που περιέχει πολυωνυμικούς όρους.

Ελκυστές ενός πολυωνυμικού συστήματος. 
(Πατήστε πάνω στην εικόνα για να τη δείτε σε μεγαλύτερο μέγεθος)

Όλες οι παραπάνω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχούν σε τρισδιάστατα συστήματα και συνεπώς οι τροχιές που προκύπτουν είναι τρισδιάστατες, Το πρόγραμμα με το οποίο κατασκευάστηκαν τα παραπάνω είναι το Chaoscope, και μπορείτε να το κατεβάσετε εντελώς δωρεάν [~]. Η χρήση του είναι πολύ απλή και αν αφιερώσετε 2-3 λεπτά για να μάθετε τις βασικές του λειτουργίες θα καταφέρετε να φτιάξετε εξαιρετικές εικόνες ελκυστών.

Παραθέτω ορισμένες εικόνες που κατασκεύασε το πρόγραμμα και μου φαίνονται ιδιαίτερα όμορφες.
Μπορείτε να μου στείλετε και τις δικές σας και ορισμένες από αυτές να τις δημοσιεύσουμε στο ιστολόγιο αυτό.

_______________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ

- Στην ανάρτηση εδώ >>[~] εξετάζουμε έναν απλό ελκυστή, με τη βοήθεια online εφαρμογών στο Mathematica.

Το πρόβλημα του Collatz (δεν) λύθηκε!

Όταν ο Εrdos έμαθε για πρώτη φορά για την εικασία του Collatz σίγουρα θα του φάνηκε ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα που αξίζει κάποιος να ασχοληθεί μαζι του. Όταν ξεκίνησε να ασχολείται με το πρόβλημα κατέληξε στο συμπέρασμα ότι τα μαθηματικά δεν είναι ακόμη έτοιμα για να προσεγγίσουν τέτοιου είδους προβλήματα.

Η φράση του εκκεντρικού μαθηματικού της θεωρίας αριθμών ανέδειξε το πρόβλημα ως μια πρόκληση που είναι τρομερά δύσκολο να λυθεί.

Εν μέρει ο Erdos είχε δίκιο, αφού για μισό αιώνα τουλάχιστον δεν είχε γίνει καμία πρόοδος, μέχρι προχτές στις 01/06, όπου δημοσιεύτηκε ένα σχετικό άρθρο [~], γραμμένο από τον Gerhard Opfer, του πανεπιστημίου του Hamburg.(*)

Η εικασία του Collatz ή αλλιώς το πρόβλημα $3n + 1$ προκαλεί ιδιαίτερη έκπληξη, γιατί παρόλο που η διατύπωσή του είναι εξαιρετικά απλή, η λύση του δεν είναι καθόλου εύκολη.

Επιλέξτε όποιον αριθμό θέλετε. Αν είναι ζυγός διαιρέστε τον με το 2. Αν είναι περιττός πολλαπλασιαστε με το 3 και προσθέστε 1. Αν επαναλάβετε αυτή την απλή διαδικασία θα καταλλήξετε στον αριθμό 1.

Η τελευταία πρόταση δεν έχει αποδειχτεί. Το άρθρο του Opfer υποστηρίζει ότι παρουσιάζει μία αναλυτική απόδειξη αυτής της πρότασης.

(*) UPDATE: To πρόβλημα του Collatz δυστυχώς δεν λύθηκε. Η απόδειξη που παρουσίασε ο Οpfer φαίνεται να έχει σημαντικά κενά, τα οποία επεσήμαναν διάφοροι μαθηματικοί στο διαδίκτυο [~]

Μία σύντομη αναδρομή*

Η καταγωγή του προβλήματος δεν είναι γνωστή με βεβαιότητα. Το σίγουρο είναι ότι για πολύ καιρό κυκλοφορούσε στους μαθηματικούς κύκλους και ιδιαίτερα μεταξύ μαθηματικών που δούλευαν στη θεωρία αριθμών. Ο ίδιος ο Collatz από τα φοιτητικά του χρόνια έδειξε ενδιαφέρον για το πρόβλημα από τις αρχές της δεκαετίας του 1930 και από ότι φαίνεται αναφερόταν ήδη στις διαλέξεις των Edmund Landau, Oskar Perron και Issai Schur.

Η πρώτη γραπτή εμφάνιση του προβλήματος υπάρχει στο σημειωματάριό του με ημερομηνία 1η Ιουλίου 1930 και δεν δημοσίευσε ποτέ κάποιο σχετικό άρθρο με το πρόβλημα παρά μόνο το κυκλοφόρησε προφορικά στο διεθνές συνέδριο μαθηματικών στο Cambridge το 1950. Στα πρακτικά του συνεδρίου εμφανίζεται και το πρόβλημα.

Στα επόμενα χρόνια το πρόβλημα γίνεται ιδιαίτερα δημοφιλές. O Hasse συζητούσε με διάφορους άλλους μαθηματικούς πιθανές γενικεύσεις, ενώ ο Kakutani ευθύνεται σε μεγάλο βαθμό για τη διάδοσή του, που είχε λάβει διαστάσεις επιδημίας! Χαρακτηριστική είναι η μαρτυρία του Kakutani  ότι "Για έναν περίπου μήνα όλος ο κόσμος στο Yale δούλευε πάνω στο πρόβλημα χωρίς αποτέλεσμα". Εκτός από τον Kakutani στο πανεπιστήμιο του Chicago ο Lagarias φρόντισε να μεταδώσει την επιδημία του προβλήματος χωρίς πάλι κανένα αποτέλεσμα. Κυκλοφορούσε μάλιστα και ένα αστείο πως το πρόβλημα ήταν κομμάτι μιας συνομωσίας που είχε σκοπό να καθυστερήσει τη μαθηματική έρευνα στις Η.Π.Α.

Το πρόβλημα του $3n+1$ έχει ελεγχθεί και αριθμητικά για ένα πολύ μεγάλο εύρος τιμών. Τετοιοι έλεγχοι θέτουν και άλλα επίσης ενδιαφέροντα ζητήματα σχετικά με την μελέτη του προβλήματος, όπως η εύρεση γρήγορων αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται στην αριθμητικη μελέτη του προβλήματος.

Δουλεύοντας με το πρόβλημα $3n+1$

Η πρώτη εντύπωση για την παραπάνω διαδικασία είναι ότι πρόκειται για κάτι πολύ απλό. Τί είδους όμως ακολουθίες αριθμών μπορούν να προκύψουν. Ας δούμε μερικά παραδείγματα, όπου γρήγορα θα διαπιστώσετε ότι ο όρος $3n+1$ μπορεί να περιπλέξει αρκετά τα πράγματα. Ξεκινάμε με τον 5,

$$ 5\rightarrow 16\rightarrow 8\rightarrow 4 \rightarrow 2\rightarrow 1$$

Ας περάσουμε στον επόμενο

$$ 6\rightarrow 3\rightarrow 10\rightarrow 5 \rightarrow 16\rightarrow 8\rightarrow 4 \rightarrow 2\rightarrow 1$$

ενώ για τον 8 έχουμε

$$8\rightarrow 4 \rightarrow 2\rightarrow 1$$

Οι ακολουθίες των ακεραίων έχοντας ως αρχική τους τιμή μεγαλύτερους ακέραιους δεν μεταβάλλεται σε πλήθος αρκετά. Μέχρι που φτάνουμε στον αριθμό 27 όπου δημιουργείται μία ακολουθία με 111 ακέραιους και μέχρι να καταλήξει στο 1 έχει φτάσει μέχρι και το 9232... Ωστόσο, όσο μεγάλες κι αν είναι αυτές οι ακολουθίες πάντοτε τερματίζουν στον 1. Και αυτό είναι που απέδειξε ο Gerhard Opfen.

Στη συνέχεια διατρέχουμε τον άξονα τον ακεραίων μέχρι το 1000 και μελετάμε τη συμπεριφορά που έχει η παραπάνω διαδικασία, την οποία μπορούμε να καλούμε Κανόνα του Collatz. Στην πλαίσιο, έχω φτιάξει σε Mathematica μία εφαρμογή για τον υπολογισμό της ακολουθίας ακεραίων που παράγει ο κανόνας του Collatz. Για να τη χρησιμοποιήσετε θα πρέπει να έχετε το σχετικό plugin (διαβάστε παρακάτω).

Αν το παραπάνω το βλέπετε ως στατική εικόνα τότε δεν έχετε εγκατεστημένο το plugin του CDF player, της εταιρίας Wolfram Research. Εγκαθιστώντας το  plugin θα μπορείτε να αλληλεπιδράσετε με την παραπάνω εφαρμογή αλλάζοντας τις τιμές κατα βούληση. Μπορείτε να κατεβάσετε δωρεάν τον CDF player από εδώ [~] .

Αλλάζοντας την αρχική τιμή  στην παραπάνω εφαρμογή ευκολα διαπιστώνετε ότι το μήκος της ακολουθίας των αριθμών ποικίλει, και μάλιστα σε όλο το έυρος των αριθμών υπάρχουν ακολουθίες πολύ μικρού μήκους όπου ξαφνικά μπορεί να εμφανίζονται ακολουθίες με πολύ μεγάλο μήκος, όπως συνέβη και με τον αριθμό 27 παραπάνω.

Η εφαρμογή που ακολουθεί παρέχει μία γραφική απεικόνιση της παραπάνω διαδικασίας, για ένα μεγάλο εύρος ακέραιων από το 20 έως το 10000. Στο πάνω μέρος της γραφικής παράστασης αναγράφεται και το πλήθος των όρων που περιέχει η ακολουθία με αρχική τιμή την εκείνη που καθορίζεται από την μπάρα.

Η εμφάνιση μικρών και μεγάλων ακολουθιών σε όλο το εύρος των ακέραιων που μπορούν να παρουσιάσουν οι παραπάνω εφαρμογές δημιουργούν ερωτήματα σχετικά με την κατανομή του μέσου μήκους που έχει ένα σύνολο από διαδοχικούς ακέραιους. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται, για διαδοχικές πενηντάδες ακέραιων, η κατανομή του μέσου μηκους των αντίστοιχων ακολουθιών.

Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στον άξονα των ακέραιων μεταξύ 100 και 10000 χωρισμένο σε διαδοχικές πενηντάδες (2000 πενηντάδες ακέραιων). Για καθεμία πενηντάδα αντιστοιχεί και μία τιμή στη συνάρτηση. Η τιμή της συνάρτησης φαίνεται στον κάθετο άξονα και αντιστοιχεί στη μέση τιμή του μήκους που έχουν οι ακολουθίες των ακέραιων της εκάστοτε πενηντάδας. Παρατηρούμε ότι υπάρχει μία γενική αυξητική τάση του πλήθους των στοιχείων μιας ακολουθίας, που όμως περιέχει έντονες αυξομειώσεις.

Γενικά, όσο ξεκινάει να "παίζει" κανείς με τις ακολουθίες, ή και με άλλα μεγέθη σχετικά με το πρόβλημα $3n + 1$ μπορούν να προκύψουν ιδιαίτερα ενδιαφέροντα θέματα. Σε επόμενη ανάρτηση θα ασχοληθούμε ξανά με το πρόβλημα εξετάζοντας διάφορες κλάσεις αριθμών. Για παράδειγμα, αν θέσουμε ως αρχικές τιμές μόνο πρώτους, τί ακολουθίες παράγουν; Από την άλλη ποιοι αριθμοί παράγουν στατιστικά μεγαλύτερες ακολουθίες, οι ζυγοί ή οι περιττοί; Τί λέτε;


_______________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ

* Η ενότητα αυτή προέρχεται από το 
Γ.-Α. Δημάκης, Χ. Ερμόπουλος, Ο.Βάτζος, "Το πρόβλημα του $3n+1$ σαν ένα διακριτό δυναμικό σύστημα", Τάξη και Χάος, τόμος έβδομος, Εκδόσεις Πνευματικός, Αθήνα 2002.