Η επόμενη μεγάλη κορύφωση του ανθρώπινου πνεύματος θα είναι η κατασκευή μιας μεθόδου κατανόησης του ποιοτικού περιεχομένου των εξισώσεων. Σήμερα κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό. Σήμερα δεν μπορούμε να δούμε στις εξισώσεις των υδάτινων ροών τις στροβιλώδεις δομές της τύρβης που παρατηρεί κάποιος μεταξύ δύο περιστρεφόμενων κυλίνδρων. Δεν μπορούμε στις μέρες μας να αποφανθούμε αν η εξίσωση Schrondinger περιέχει βατράχια, μουσικούς συνθέτες, ή ηθική - ή ακόμα αν δεν περιέχει.
Οι πρώτη έκδοση των Διαλέξεων έγινε πριν ακριβώς 50 χρόνια, το 1961. Την ίδια χρονιά ο E.G. Lorentz είχε ήδη συγκεντρώσει τις μετρήσεις των αριθμητικών λύσεων από τον υπολογιστή του ΜΙΤ, για ένα μοντέλο που προσομοίωνε την ροή των νεφών στην ατμόσφαιρα. Το Νοέμβριο της ίδιας χρονιάς, ο Ueda θα αρχίσει να ασχολείται με τις "θρυψαλλισμένες ωοειδείς δομές", όπως είχε αναφέρει, αντί για τις λείες κλειστές καμπύλες που περίμενε να παρατηρήσει κατά την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων που προσομοίωνε ένα πολύπλοκο σύστημα ταλαντωτών. Στα επόμενα χρόνια, φυσικοί, βιολόγοι, χημικοί και μηχανικοί θα αρχίσουν να συναντούν όλο και πιο συχνά στα υπολογιστικά τους μοντέλα μία απρόβλεπτη ευαισθησία στην συμπεριφορά των λύσεων που τους έφεραναν αντιμέτωπους με καινούργια φαινόμενα και διάφορα σενάρια ενός ελεγχόμενου τρόπου μετάβασης στο χαός και στην πολυπλοκότητα.
O Lorentz είναι ιστορικά ο πρώτος που μελέτησε τη χαοτική συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος, δηλαδή ενός συστήματος που εξελίσσεται χρονικά παρουσιάζοντας ενίοτε παράξενη συμπεριφορά. Ειδικότερα, αυτό που προσπαθούσε να κάνει ο Lorentz ήταν να κατασκευάσει μαθηματικά μοντέλα για τον τρόπο που κινούνται τα ρεύματα αέρα στην ατμόσφαιρα, λύνοντας αριθμητικά τις εξισώσεις.
Για να το κάνει κάποιος αυτό, θα πρέπει να ορίσει αυτό που λέμε αρχικές συνθήκες, δηλαδή να θέσει αρχικές τιμές στις παραμέτρους του συστήματος, καθώς επίσης και στις μεταβλητές που εξαρτώνται από το χρόνο. Ξεκινώντας από αυτές τις αρχικές τιμές, ένας υπολογιστής δίνει διαδοχικές τιμές στη μεταβλητή του χρόνου και για καθεμία από αυτές υπολογίζει και αποθηκεύει την αριθμητική τιμή που παίρνει η μεταβλητή. Έτσι περίπου ο υπολογιστής κατασκευάζει την αριθμητική λύση του συστήματος. Η ακολουθία των τιμών που λαμβάνει μία μεταβλητή για διαδοχικές τιμές του χρόνου αποτελεί την τροχιά της μεταβλητής, μία έννοια ιδιαίτερα χρήσιμη.
Για το σύστημα του Lorentz και τα νέφη στην ατμόσφαιρα, οι αρχικές συνθήκες καθορίζονται από μετρήσεις της θερμοκρασίας, της τοπικής πίεσης του αέρα και άλλες παραμέτρους, καθώς επίσης και και μία αρχική κατάσταση της θέσης και της ταχύτητας των νεφών. Η θέση και η ταχύτητα είναι που εξελίσσοται στο χρόνο. Για κάθε χρονική στιγμή, όλες οι συντεταγμένες της θέσης και της ταχύτητας προσδιορίζουν την φάση στον φασικό χώρο του συστήματος. Ο φασικός χώρος είναι ένας μαθηματικός χώρος του συνόλου όλων των πιθανών καταστάσεων του συστήματος που καλούνται και φάσεις. Μία φάση προσδιορίζει πλήρως την κατάσταση του συστήματος για μία χρονική στιγμή. Δηλαδή μία φάση περιέχει όλες εκείνες τις τιμές των μεταβλητών που αρκεί να χρησιμοποιήσουμε προκειμένου να προσδιορίσουμε μεταγενέστερες καταστάσεις, βασιζόμενοι όμως στις ίδιες αρχικές συνθήκες της προγενέστερης κατάστασης. Η τροχιά κατασκευάζεται από ένα σύνολο διαδοχικών φάσεων στον φασικό χώρο, περιγράφοντας έτσι την εξέλιξη του συστήματος.
Ο Lorentz αυτό που παρατήρησε ήταν τροχιές εξαιρετικά περίπλοκες, οι οποίες μπορούσαν να αλλάζουν εξαιρετικά τη μορφή τους αν άλλαζε τις αρχικές συνθήκες. Δηλαδή, διαφορετικές αρχικές συνθήκες αντιστοιχούν και σε ένα διαφορετικό σενάριο εξέλιξης του συστήματος, κάτι το οποίο είναι αναμενόμενο και επιθυμητό ως αποτέλεσμα. Μαζί, όμως με αυτό, ο Lorentz παρατήρησε και κάτι άλλο. Αν άλλαζε τις αρχικές συνθήκες κατα το ελάχιστο, η νέα τροχιά που προέκυπτε σε ορισμένες περιπτώσεις δεν είχε καμία σχέση με την προηγούμενη. Αυτό ισοδυναμεί με το να υποστηρίξουμε ότι δύο σημεία του φασικού χώρου που είναι γειτονικά, ή βρίσκονται πολύ κοντά μεταξύ τους, μπορεί, αν τεθούν ως αρχικές συνθήκες στο σύστημα, να μας δώσουν εντελώς διαφορετικές τροχιές. Έτσι, το σύστημα αποκτούσε την ιδιότητα της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες που έθετε ένα μείζον θέμα ως προς την ακρίβεια που πρέπει να έχουν οι μετρήσεις μας τελικά για να προβλέψουμε σωστά την εξέλιξη του συστήματός μας (μήπως πρόκειται για έναν βασικό λόγο που εξαιτίας του δεν μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις μακράς περιόδου για τον καιρό;)
Επίσης οι τροχιές αυτές, παρόλο που μπορεί να είναι εξαιρετικά περίπλοκες, τα σημεία του φασικού χώρου μπορούν να παραμένουν δεσμευμένα σε μία περιοχή, χωρίς να διαφεύγουν. Τέτοιες δομές στο φασικό χώρο καλούνται παράξενοι ελκυστές και αποτελούν μία από τις πολλές υπογραφές του χάους στον φασικό χώρο. Ο παραπάνω ορισμός βεβαια στερείται της απαιτούμενης μαθηματικής αυστηρότητας, μιας και πρόκειται για μαθηματικά αντικείμενα. Ωστόσο, σκοπός της συγκεκριμένης ανάρτησης είναι να αποφύγει κάθε τέτοια αυστηρότητα και να αναδείξει την ομορφιά αυτών των αντικειμένων, όπως παρουσιάζεται στις γραφικές τους παραστάσεις (όποτε κάτι τέτοιο είναι δυνατόν).
Οι τροχιές που προκύπτουν σε τέτοιου είδους συστήματα μπορούν να δημιουργήσουν παράξενους ελκυστές που είναι αρκετά περίπλοκοι. Ορισμένοι ελκυστές για το σύστημα του Lorentz φαίνονται στα παρακάτω σχήματα, για διάφορες τιμές των παραμέτρων. Οι τροχιές έχουν κατασκευαστεί με 20 000 000 διαδοχικά σημεία. Οι διαβαθμίσεις του γκρι αντιστοιχούν στην πυκνότητα των σημείων, με τις φωτεινότερες περιοχές να έχουν τη μεγαλύτερη πυκνότητα.
Εκτός από το σύστημα του Lorentz, μπορούμε φυσικά να μελετήσουμε και άλλα συστήματα. Για παράδειγμα στην παρακάτω εικόνα εμφανίζονται τροχιές που προκύπτουν για ένα μη-γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων, που οι γραμμικοί του όροι αντιστοιχούν σε ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς συναρτήσεις.
Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται ενδεικτικές τροχιές ενός μη-γραμμικού συστήματος που περιέχει πολυωνυμικούς όρους.
Όλες οι παραπάνω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχούν σε τρισδιάστατα συστήματα και συνεπώς οι τροχιές που προκύπτουν είναι τρισδιάστατες, Το πρόγραμμα με το οποίο κατασκευάστηκαν τα παραπάνω είναι το Chaoscope, και μπορείτε να το κατεβάσετε εντελώς δωρεάν [~]. Η χρήση του είναι πολύ απλή και αν αφιερώσετε 2-3 λεπτά για να μάθετε τις βασικές του λειτουργίες θα καταφέρετε να φτιάξετε εξαιρετικές εικόνες ελκυστών.
Παραθέτω ορισμένες εικόνες που κατασκεύασε το πρόγραμμα και μου φαίνονται ιδιαίτερα όμορφες.
Μπορείτε να μου στείλετε και τις δικές σας και ορισμένες από αυτές να τις δημοσιεύσουμε στο ιστολόγιο αυτό.
_______________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ
- Στην ανάρτηση εδώ >>[~] εξετάζουμε έναν απλό ελκυστή, με τη βοήθεια online εφαρμογών στο Mathematica.
Ο Lorentz αυτό που παρατήρησε ήταν τροχιές εξαιρετικά περίπλοκες, οι οποίες μπορούσαν να αλλάζουν εξαιρετικά τη μορφή τους αν άλλαζε τις αρχικές συνθήκες. Δηλαδή, διαφορετικές αρχικές συνθήκες αντιστοιχούν και σε ένα διαφορετικό σενάριο εξέλιξης του συστήματος, κάτι το οποίο είναι αναμενόμενο και επιθυμητό ως αποτέλεσμα. Μαζί, όμως με αυτό, ο Lorentz παρατήρησε και κάτι άλλο. Αν άλλαζε τις αρχικές συνθήκες κατα το ελάχιστο, η νέα τροχιά που προέκυπτε σε ορισμένες περιπτώσεις δεν είχε καμία σχέση με την προηγούμενη. Αυτό ισοδυναμεί με το να υποστηρίξουμε ότι δύο σημεία του φασικού χώρου που είναι γειτονικά, ή βρίσκονται πολύ κοντά μεταξύ τους, μπορεί, αν τεθούν ως αρχικές συνθήκες στο σύστημα, να μας δώσουν εντελώς διαφορετικές τροχιές. Έτσι, το σύστημα αποκτούσε την ιδιότητα της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες που έθετε ένα μείζον θέμα ως προς την ακρίβεια που πρέπει να έχουν οι μετρήσεις μας τελικά για να προβλέψουμε σωστά την εξέλιξη του συστήματός μας (μήπως πρόκειται για έναν βασικό λόγο που εξαιτίας του δεν μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις μακράς περιόδου για τον καιρό;)
Επίσης οι τροχιές αυτές, παρόλο που μπορεί να είναι εξαιρετικά περίπλοκες, τα σημεία του φασικού χώρου μπορούν να παραμένουν δεσμευμένα σε μία περιοχή, χωρίς να διαφεύγουν. Τέτοιες δομές στο φασικό χώρο καλούνται παράξενοι ελκυστές και αποτελούν μία από τις πολλές υπογραφές του χάους στον φασικό χώρο. Ο παραπάνω ορισμός βεβαια στερείται της απαιτούμενης μαθηματικής αυστηρότητας, μιας και πρόκειται για μαθηματικά αντικείμενα. Ωστόσο, σκοπός της συγκεκριμένης ανάρτησης είναι να αποφύγει κάθε τέτοια αυστηρότητα και να αναδείξει την ομορφιά αυτών των αντικειμένων, όπως παρουσιάζεται στις γραφικές τους παραστάσεις (όποτε κάτι τέτοιο είναι δυνατόν).
Οι τροχιές που προκύπτουν σε τέτοιου είδους συστήματα μπορούν να δημιουργήσουν παράξενους ελκυστές που είναι αρκετά περίπλοκοι. Ορισμένοι ελκυστές για το σύστημα του Lorentz φαίνονται στα παρακάτω σχήματα, για διάφορες τιμές των παραμέτρων. Οι τροχιές έχουν κατασκευαστεί με 20 000 000 διαδοχικά σημεία. Οι διαβαθμίσεις του γκρι αντιστοιχούν στην πυκνότητα των σημείων, με τις φωτεινότερες περιοχές να έχουν τη μεγαλύτερη πυκνότητα.
 |
| Ελκυστές του συστήματος Lorentz για τρεις διαφορετικές τιμές των παραμέτρων. (Πατήστε πάνω στην εικόνα για να τη δείτε σε μεγαλύτερο μέγεθος) |
Εκτός από το σύστημα του Lorentz, μπορούμε φυσικά να μελετήσουμε και άλλα συστήματα. Για παράδειγμα στην παρακάτω εικόνα εμφανίζονται τροχιές που προκύπτουν για ένα μη-γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων, που οι γραμμικοί του όροι αντιστοιχούν σε ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς συναρτήσεις.
 |
| Ελκυστές του συστήματος Pickover. (Πατήστε πάνω στην εικόνα για να τη δείτε σε μεγαλύτερο μέγεθος) |
Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται ενδεικτικές τροχιές ενός μη-γραμμικού συστήματος που περιέχει πολυωνυμικούς όρους.
 | |
|
Όλες οι παραπάνω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχούν σε τρισδιάστατα συστήματα και συνεπώς οι τροχιές που προκύπτουν είναι τρισδιάστατες, Το πρόγραμμα με το οποίο κατασκευάστηκαν τα παραπάνω είναι το Chaoscope, και μπορείτε να το κατεβάσετε εντελώς δωρεάν [~]. Η χρήση του είναι πολύ απλή και αν αφιερώσετε 2-3 λεπτά για να μάθετε τις βασικές του λειτουργίες θα καταφέρετε να φτιάξετε εξαιρετικές εικόνες ελκυστών.
Παραθέτω ορισμένες εικόνες που κατασκεύασε το πρόγραμμα και μου φαίνονται ιδιαίτερα όμορφες.
Μπορείτε να μου στείλετε και τις δικές σας και ορισμένες από αυτές να τις δημοσιεύσουμε στο ιστολόγιο αυτό.
_______________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ
- Στην ανάρτηση εδώ >>[~] εξετάζουμε έναν απλό ελκυστή, με τη βοήθεια online εφαρμογών στο Mathematica.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου