Ψηλαφώντας το Χάος - Ένας απλός χαοτικός ελκυστής.

Μελετάμε ένα σύστημα απλών εξισώσεων που παράγουν έναν χαοτικό ελκυστή, ο οποίος αποκαλύπτει όλη την πολυπλοκότητα που υποκρύπτουν οι μη-γραμμικοί όροι των εξίσωσεων.

*Σημείωση - Στην ανάρτηση αυτή υπάρχουν ορισμένες διαδραστικές εφαρμογές. Αν έχετε το σχετικό plugin θα μπορείτε να αλληλεπιδράσετε μαζί τους, διαφορετικά θα τις βλέπετε ως εικόνες. Για να κατεβάσετε το plugin (CDF της Wolfram Research) πατήστε εδώ >> [~].

Σε προηγούμενη ανάρτηση [~] αναφερθήκαμε σε έννοιες όπως η φάση και ο χώρος φάσης ενός συστήματος, καθώς επίσης η τροχιά και στον τρόπο που ενωποιούνται όλα αυτά για να καταλήξουμε στην έννοια του παράξενου ελκυστή. Ο παράξενος ελκυστής είναι ένα σενάριο μετάβασης στην χαοτική συμπερισφορά ενός συστήματος.

Στην ανάρτηση αυτή θα εξετάσουμε έναν παράξενο ελκυστή που δημιουργείται από απλούς μη-γραμμικούς όρους. Έχοντας κατασκευάσει ο Lorentz τον δικό του παράξενο ελκυστή άρχισαν να δημιουργούνται πλήθος ενδιαφέροντων ερωτημάτων για το ποιες είναι η ελάχιστες απαιτήσεις της μη-γραμμικότητας που εμφανίζουν ανάλογες δομές.

Ο ελκυστής προέκυψε από το σύστημα που κατασκέυασε ο Otto Rössler το 1976 για αυτό και μόνο το σκοπό [1], χρησιμοποιώντας απλούς μη-γραμμικούς όρους. Αργότερα, το σύστημα του Rössler βρέθηκε ότι μπορεί να προσομοιώσει συστήματα χημικών ταλαντώσεων.

Ειδικότερα, το σύστημα του Rössler περιέχει μόνο έναν απλό μη-γραμμικό όρο και είναι ένα τριδιάστατο σύστημα που περιγράφεται από τις εξισώσεις [2]

\[
\begin{align}
\frac{d{x}}{d{t}} &= - y - z\\
\frac{d{y}}{d{t}}&= x + \alpha y\\
\frac{d{z}}{d{t}}&= b + z(x - c)
\end{align}
\]

Ο μη-γραμμικός όρος είναι ο $z\cdot x$ στην τελευταία εξίσωση. Αυτός ο όρος σε συνδυασμό με τις υπόλοιπες εξισώσεις προκαλεί την χαοτική συμπεριφορά για ορισμένες τιμές των παραμέτρων. Το σύστημα έχει τρεις παραμέτρους. Οι παράμετροι αυτές ονομάζονται και παράμετροι ελέγχου, γιατί ελέγχουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Και αυτή η συμπεριφορά αποτυπώνεται στον ελκυστή που διαμορφώνει η τροχιά του συστήματος στον τριδιάστατο φασικό χώρο.

Στην παρακάτω εφάρμογη λύνουμε το σύστημα του Rössler αριθμητικά και κατασκευάζουμε την τρόχια που διαμορφώνει τον παράξενο ελκυστή. Παρατηρείστε ότι για ορισμένες τιμές η τροχιά είναι αρκετά απλή και περιορίζεται σε έναν βρόχο στον τριδιάστατο χώρο. Άλλες φορές πάλι, ο βρόχος γίνεται πιο περιπλοκος, ενώ υπάρχουν και περιπτώσεις όπου δεν έχουμε καν βρόχο (δηλαδή η τροχιά δεν κλείνει), παρόλο που βρίσκεται δεσμευμένη σε μία περιοχή.

Όταν η τροχιά αντιστοιχεί σε έναν απλό βρόχο τότε το σύστημα έχει περίοδο 1. Διαισθητικά αυτό είναι εύκολο να το καταλάβει κάποιος. Η τροχιά ξεκινάει από κάποιο σημείο του βρόχου και μετά από ορισμένο χρονικό διάστημα καταλήγει πάλι στο σημείο όπου ξεκίνησε, ακολουθώντας ξανά την ίδια πορεία. Αυτή είναι μία διαισθητική εικόνα μιας περιοδικής κίνησης. Όταν ο βρόχος κλείνει μετά από δύο κυκλικές διαδρομές, τότε το σύστημα έχει λύσεις περιόδου 2 κ.ο.κ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο ελκυστής που προκύπτει από λύσεις περιόδου 1, περιόδου 2, περιόδου 4.

 

Ίσως το τριδιάστατο γράφημα του ελκυστή να μην είναι και τόσο βοηθητικό ως προς την αναγνώριση της περιόδου. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται μία από τις τρεις προβολές του γραφήματος. Η πλήρης γραφική παράσταση μαζί με τις προβολές του ελκυστή φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. 

Τριδιάστατη γραφική παράσταση του ελκυστή του Rössler μαζί με τις τρεις ξεχωριστές προβολές του. Η προβολή του επιπέδου x-y χρησιμοποιείται για την γραφική αναπαράσταση των περιοδικών και χαοτικών λύσεων. Οι τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν για να κατασκευάσουν τον συγκεκριμένο ελκυστή είναι a = 0.3, b = 0.4, c = 4.44.

Στην παρακάτω εφαρμογή μπορείτε να δοκιμάσετε διάφορες τιμές της παραμέτρου c παρατηρώντας τις αλλαγές στην γραφική παράσταση της προβολής x-y του ελκυστή και διατηρώντας τις υπόλοιπες τιμές των παραμέτρων σταθερές, a = b = 0.1. Η συγκεκριμένη προβολή αποτελεί μία εύχρηστη άποψη του ελκυστή για την απεικόνιση των περιοδικών τροχιών. 

Στο διάγραμμα της παραπάνω εφαρμογής το σημείο $(0,0)$ (δηλαδή η αρχή των αξόνων) βρίσκεται στο κέντρο του διαγράμματος χωρίζοντας έτσι το επίπεδο τέσσερα τεταρτημόρια. Αν επιλέξετε ένα τεταρτημόριο εκτός από το 1ο (πάνω δέξια,ή αλλιώς, στην "βορειοανατολική" περιοχή του διαγράμματος) και μετρήσετε τα ξεχωριστά τμήματα της τροχιάς θα βρείτε την περίοδο της τροχιάς.

Εκτός από τις περιοδικές τροχιές, υπάρχουν τιμές της παραμέτρου c, για τις οποίες η γραφική παράσταση γίνεται εμφανώς πιο περίπλοκη, και είναι τότε που έχουμε μία αμφιβολία για τη σωστή καταμέτρηση των επιμέρους τμημάτων της τροχιάς. Το γεγονός αυτό σημαίνει ότι βρισκόμαστε σε περιοχές χαοτικών ή σχεδόν χαοτικών λύσεων, που είναι και οι πιο ενδιαφέρουσες. Σύμφωνα με το παρακάτω διάγραμμα και βάσει αυτού του διαισθητικού κανόνα, για την τιμή c = 4, επιλέγοντας το 2o τεταρτημόριο ("βορειοδυτική" περιοχή του διαγράμματος) υπάρχει μόνο ένα και μοναδικό τμήμα της τροχιάς (άρα πρόκειται για μία λύση περιόδου 1).

προέλευση: wikipedia

Μέσω της παραπάνω εφαρμογής μπορείτε να επαληθεύσετε τα γραφήματα της προβολής με τα αντίστοιχα γραφήματα του παραπάνω σχήματος από το wikipedia (στο λήμμα Rössler attractor), αλλά και να παρατηρήσετε τις μεταβολές του γραφήματος για τις ενδιάμεσες τιμές.



____________________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ

[1] O. E. Rössler (1976). "An Equation for Continuous Chaos". Physics Letters 57A (5): 397–398.
[2] ευχαριστώ τον Arkanoid από το http://www.mathcom.gr/ που επισήμανε ένα λάθος στη διατύπωση των εξισώσεων.

- Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα για το σύστημα Rössler, στην ανάρτηση

• Θέματα αρχικών συνθηκών και τα φτερά της πεταλούδας [~]