Η μελέτη των παραμέτρων ελέγχου που υπάρχουν σε ένα σύστημα μπορεί να καταλήξει σε πολύ χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με την συμπεριφορά του. Στην ανάρτηση αυτή χρησιμοποιούμε το σύστημα του Rossler και προσπαθούμε να αποκτήσουμε μία εποπτική εικόνα των περιοδικών και των χαοτικών λύσεων μέσω ενός διαγράμματος που αφορά στις τιμές μιας παραμέτρου ελέγχου.
Το σύστημα του Rossler περιέχει τρεις παραμέτρους ελέγχου \(a\), \(b\) και \(c\). Αλλάζοντας την τιμή έστω και μιας από αυτές, προκύπτει διαφορετική τροχιά, ή ισοδύναμα διαφορετικές λύσεις. Αυτό το είχαμε παρατηρήσει και σε προηγούμενη ανάρτηση [~]. Σε μία άλλη ανάρτηση [~] επικεντρωθήκαμε πάλι στις παραμέτρους ελέγχου, προσπαθώντας να "χαρτογραφήσουμε" τις χαοτικές και τις περιοδικές τροχιές σε ένα κοινό διάγραμμα. Το διάγραμμα αυτό προέκυπτε αλλάζοντας τις τιμές σε δύο από τις τρεις παραμέτρους ελέγχου (κρατώντας την τρίτη σταθερή).
Σε αυτή την ανάρτηση θα επικεντρωθούμε σε κάθε παράμετρο ελέγχου ξεχωριστά και θα κατασκευάσουμε έναν πολύ χρήσιμο τύπο διαγράμματος, το διάγραμμα διακλάδωσης.
Η κατασκευή των διαγραμμάτων διακλάδωσης είναι σχετικά απλή. Επιλέγουμε την παράμετρο ελέγχου στην οποία θα αντιστοιχεί το διάγραμμα και με μικρό βήμα αλλάζουμε την τιμή της λύνοντας αριθμητικά το σύστημα για κάθε τέτοια τιμή. Στη συνέχεια επιλέγουμε ένα χρονικό διάστημα όπου υποθέτουμε ότι οι λύσεις θα είναι ενδεικτικές της συμπεριφοράς του συστήματος. Σε τούτο το διάστημα αναζητούμε τυχόν περιοδικές συμπεριφορές της λύσης. Αυτό που αναπαριστούμε στο διάγραμμα είναι τα περιοδικά σημεία της αριθμητικής λύσης.
Εκτελώντας την παραπάνω διαδικασία για την παράμετρο ελέγχου \(c\) ξεκινώντας από την τιμή \(c = 3.2\) και καταλήγοντας στην \(c = 10\), προκύπτει το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος για την αριθμητική λύση της \(x(t)\).
To διάγραμμα χωρίζεται σε περιοχές όπου υπάρχουν κάποιες καμπύλες και σε περιοχές όπου υπάρχουν πολλά σημεία. Οι περιοχές των καμπυλών αντιστοιχούν σε τιμές της παραμέτρου \(c\) (και για τις συγκεκριμένες τιμές των άλλων δύο παραμέτρων) όπου η λύση \(x(t)\) είναι περιοδική. Οι περιοχές όπου οι καμπύλες χάνονται και αντικαθίστανται από σημεία, αντιστοιχούν σε περιοχές τιμών της παραμέτρου \(c\) όπου οι λύσεις είναι χαοτικές. Ωστόσο και οι χαοτικές περιοχές διακόπτονται από περιοχές περιοδικών λύσεων, φαινόμενο που συναντήσαμε με κάποια άλλη μορφή σε ένα διαφορετικό διάγραμμα, [~].
Παρατηρείστε τον τρόπο με τον οποίο ξεκινάει το διάγραμμα για τις μικρές τιμές της παραμέτρου. Ξεκινάει από μία καμπύλη και λίγο πριν την τιμή \(c = 3.5\) διακλαδίζεται σε δύο καμπύλες. Κάθε κλάδος από την αρχική διακλάδωση, διακλαδίζεται επίσης λίγο πριν την τιμή \(c = 4\) και σύντομα ακολουθεί και άλλη διακλάδωση. Έτσι, διατρέχοντας την τιμή της παραμέτρου ξεκινώντας από τα δεξιά και μέχρι λίγο μετά την τιμή \(c=4\) οι λύσεις \(x(t)\) είναι περιοδικές. Ωστόσο συμβαίνουν κάποιες διαδοχικές διακλαδώσεις στην αρχή σε 2, μετά σε 4, έπειτα σε 8 κλάδους μέχρι που καταλήγουμε στην περιοχή των χαοτικών λύσεων. Ποιο είναι το ποιοτικό περιεχόμενο των διακλαδώσεων και γιατί διακόπτονται από μία "σκόνη" σημείων;
Αν αναλογιστούμε τον τρόπο που κατασκευάζεται το διάγραμμα διακλάδωσης είναι σχετικά εύκολο να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα. Το πλήθος των καμπυλών που προκύπτουν από κάθε διακλάδωση αντιστοιχεί στην περίοδο που έχουν οι λύσεις του συστήματος για τις αντίστοιχες τιμές της παραμέτρου ελέγχου. Επομένως, διατρέχοντας τις τιμές της παραμέτρου \(c\), ξεκινάμε με λύσεις περιόδου 1, μετά την πρώτη διακλάδωση έχουμε λύσεις περιόδου 2, αργότερα με νέα διακλάδωση περνάμε σε λύσεις περιόδου 4, μετά σε περίοδο 8, σε περίοδο 16 (βλ. σχήμα παρακάτω) προσεγγίζοντας έτσι την περιοχή των χαοτικών λύσεων. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το παραπάνω διάγραμμα για την τιμή της παραμέτρου \(c = 3.4\) προκύπτουν λύσεις που συγκλίνουν σε ένα σημείο. Για τις τιμές \(c = 3.4\) και \(c = 3.6\) προκύπτουν λύσεις περιόδου 2, ενώ για την τιμή \(c = 4\) έχουμε λύσεις περιόδου 4.
Επιλέγοντας την παράμετρο ελέγχου \(a\) και κατασκευάζοντας το αντίστοιχο διάγραμμα διακλάδωσης, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, συναντούμε ξανά το ίδιο μοτίβο των διακλαδώσεων, αλλά φυσικά για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου. Άρα έχουμε πάλι το ίδιο σενάριο που οδηγεί από τις περιοδικές λύσεις στις χαοτικές λύσεις. Γενικά, αυτό το σενάριο μετάβασης στο χάος, μέσω του διπλασιασμού της περιόδου των λύσεων, αποτελεί μία συνήθης συμπεριφορά των μη-γραμμικών συστημάτων. Για το λόγο αυτό αξίζει να την εξετάσουμε πιο προσεκτικά.
Οι περίοδοι των λύσεων ακολουθούν τον κανόνα \(2^{k},\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) Η ανάλυση του διαγράμματος μας επιτρέπει να δούμε καθαρά τις τρεις πρώτες διακλαδώσεις. Εντούτοις, οι διακλαδώσεις συνεχίζονται ακολουθώντας τον παραπάνω κανόνα και για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου \(k\). Κατασκευάζοντας ένα πιο ακριβές διάγραμμα στην περιοχή των διακλαδώσεων παρουσιάζονται ακόμη περισσότερες διακλαδώσεις. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρείστε τις τιμές στους άξονες του διαγράμματος.
Παρόλο που αποτελεί ένα μικρό τμήμα του αρχικού διαγράμματος, οι ομοιότητες που παρουσιάζει αυτή η περιοχή με το ολικό σχήμα του διπλασιασμού περιόδου είναι εντυπωσιακές. Πρόκειται για μία δομή που αναπαράγεται σε μικρότερες κλίμακες, δημιουργώντας έτσι μία πολύπλοκη συμπεριφορά του συστήματος η οποία τελικά αλλάζει το ποιοτικό περιεχόμενο των λύσεων (μετάβαση από τις περιοδικές τροχιές στις χαοτικές). Αυτή η εντυπωσιακή επανάληψη ενός μοτίβου σε διαφορετικές κλίμακες καλείται αυτοομοιότητα. Στην προκείμενη περίπτωση του διαγράμματος διακλάδωσης έχουμε την εμφάνιση νέων διακλαδώσεων σε όλο και μικρότερες κλίμακες, με τέτοιον τρόπο ώστε, με κάθε νέα ομάδα διακλαδώσεων που εμφανίζεται να αντιστοιχούν σε διπλασιασμό περιόδου των λύσεων του συστήματος. Παρατηρείστε ότι το εύρος των τιμών της παραμέτρου που εκτείνονται διαδοχικές διακλαδώσεις φθίνει. Από την άλλη αποδεικνύεται ότι ο διπλασιασμός \(2^{k}\) συνεχίζεται καθώς \(k \rightarrow \infty\). Σύμφωνα με το δεδομένο αυτό, θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι στην περιοχή που εμφανίζεται το χάος, αντιστοιχούν λύσεις άπειρης περιόδου (αν αυτή η έκφραση έχει κάποιο νόημα). Ωστόσο μπορούμε να διαπιστώσουμε, βάσει των παραπάνω, ότι η μετάβαση από τις περιοδικές λύσεις στις χαοτικές, παρόλο που γίνεται σε ένα πεπερασμένο διάστημα τιμών της παραμέτρου, γίνεται με έναν ομαλό τρόπο. Εξαιτίας της αυτοομοιότητας στην περιοχή όπου εκτυλίσσεται το φαινόμενο του διπλασιασμού της περιόδου, συναντάμε λύσεις με περίοδο \(2^{k}\) για κάθε τιμή του \(k = 1,\ 2,\ \ldots\). Με άλλα λόγια, στην περιοχή του διπλασιασμού της περιόδου υπάρχουν διαστήματα για κάθε περίοδο \(2^{k}\). Στο "βασίλειο" της μη-γραμμικότητας το φαινόμενο της αυτοομοιότητας είναι πολύ σύνηθες και θα έχουμε την ευκαιρία να το συναντήσουμε πολλές φορές, όπως και το φαινόμενο του διπλασιασμού περιόδου.
Κατασκευάζοντας στον υπολογιστή το διάγραμμα διακλάδωσης και για την παράμετρο ελέγχου \(b\) προκύπτει το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος. Στο διάγραμμα αυτό παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές της παραμέτρου υπάρχουν κατά κύριο λόγο χαοτικές λύσεις οι οποίες καθώς αυξάνουμε την τιμή της παραμέτρου καταλήγουν σε ένα αντίστροφο φαινόμενο διπλασιασμού περιόδου. Δεν έχω καταλάβει ακόμα για πιο λόγο γίνεται κάτι τέτοιο, γιατί δηλαδή η παράμετρος \(b\) έχει μία συμπεριφορά αντίστροφη από εκείνη των δύο άλλων παραμέτρων ελέγχου.
Η δομή του διπλασιασμού περιόδων παρουσιάζει ορισμένα καθολικά χαρακτηριστικά. Αυτό σημαίνει ότι όποτε παρατηρείται, ανεξάρτητα από τη μορφή των λύσεων, ή ακόμα ανεξάρτητα και από το σύστημα που μελετάμε, υπάρχουν κάποια μεγέθη που αφορούν στη δομή του, τα οποία παραμένουν ίδια. Όμως η ανάλυση αυτής της πολύ ενδιαφέρουσας ιδιότητας των διακλαδώσεων θα μας απασχολήσει σε μία μεταγενέστερη ανάρτηση, όπου θα έχουμε την ευκαιρία να δούμε περισσότερα διαγράμματα διακλάδωσης για διαφορετικά συστήματα.
__________________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Για το σύστημα Rossler και ορισμένες υπολογιστικές εφαρμογές μπορείτε να δείτε τις παλιότερες αναρτήσεις για την τροχιά του παράξενου ελκυστή [~] για την ευαισθησία του συστήματος στις αρχικές συνθήκες [~] καθώς επίσης και για ένα διάγραμμα των παραμέτρων ελέγχου [~].
- Μία συνδυαστική ανάλυση των διαγραμμάτων διακλάδωσης μαζί με έναν άλλο τύπο διαγράμματος των παραμέτρων ελέγχου [~]
Η κατασκευή των διαγραμμάτων διακλάδωσης είναι σχετικά απλή. Επιλέγουμε την παράμετρο ελέγχου στην οποία θα αντιστοιχεί το διάγραμμα και με μικρό βήμα αλλάζουμε την τιμή της λύνοντας αριθμητικά το σύστημα για κάθε τέτοια τιμή. Στη συνέχεια επιλέγουμε ένα χρονικό διάστημα όπου υποθέτουμε ότι οι λύσεις θα είναι ενδεικτικές της συμπεριφοράς του συστήματος. Σε τούτο το διάστημα αναζητούμε τυχόν περιοδικές συμπεριφορές της λύσης. Αυτό που αναπαριστούμε στο διάγραμμα είναι τα περιοδικά σημεία της αριθμητικής λύσης.
Εκτελώντας την παραπάνω διαδικασία για την παράμετρο ελέγχου \(c\) ξεκινώντας από την τιμή \(c = 3.2\) και καταλήγοντας στην \(c = 10\), προκύπτει το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος για την αριθμητική λύση της \(x(t)\).
 |
| Tο διάγραμμα διακλάδωσης για την παράμετρο \(c\) στο σύστημα του Rossler. To εύρος τιμών της παραμέτρου που χρησιμοποιήθηκε είναι \(c\in [3.2,\ 10]\) με βήμα \(0.01\). Η αριθμητική λύση που χρησιμοποιήθηκε είναι η \(x(t)\) όπου \(t\in[3000,\ 3700]\). Οι τιμές των παραμέτρων \(a\) και \(c\) που χρησιμοποιήθηκαν είναι \(a=c=0.2\). |
Παρατηρείστε τον τρόπο με τον οποίο ξεκινάει το διάγραμμα για τις μικρές τιμές της παραμέτρου. Ξεκινάει από μία καμπύλη και λίγο πριν την τιμή \(c = 3.5\) διακλαδίζεται σε δύο καμπύλες. Κάθε κλάδος από την αρχική διακλάδωση, διακλαδίζεται επίσης λίγο πριν την τιμή \(c = 4\) και σύντομα ακολουθεί και άλλη διακλάδωση. Έτσι, διατρέχοντας την τιμή της παραμέτρου ξεκινώντας από τα δεξιά και μέχρι λίγο μετά την τιμή \(c=4\) οι λύσεις \(x(t)\) είναι περιοδικές. Ωστόσο συμβαίνουν κάποιες διαδοχικές διακλαδώσεις στην αρχή σε 2, μετά σε 4, έπειτα σε 8 κλάδους μέχρι που καταλήγουμε στην περιοχή των χαοτικών λύσεων. Ποιο είναι το ποιοτικό περιεχόμενο των διακλαδώσεων και γιατί διακόπτονται από μία "σκόνη" σημείων;
Επιλέγοντας την παράμετρο ελέγχου \(a\) και κατασκευάζοντας το αντίστοιχο διάγραμμα διακλάδωσης, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, συναντούμε ξανά το ίδιο μοτίβο των διακλαδώσεων, αλλά φυσικά για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου. Άρα έχουμε πάλι το ίδιο σενάριο που οδηγεί από τις περιοδικές λύσεις στις χαοτικές λύσεις. Γενικά, αυτό το σενάριο μετάβασης στο χάος, μέσω του διπλασιασμού της περιόδου των λύσεων, αποτελεί μία συνήθης συμπεριφορά των μη-γραμμικών συστημάτων. Για το λόγο αυτό αξίζει να την εξετάσουμε πιο προσεκτικά.
 |
| To διάγραμμα διακλάδωσης για την παράμετρο ελέγχου \(a\) στο πεδίο τιμών \([0,\ 0.32]\). Για την κατασκευή του διαγράμματος διατηρήσαμε σταθερές τις τιμές των υπόλοιπων παραμέτρων \(c = 5.7\) και \(b = 0.1\). |
Οι περίοδοι των λύσεων ακολουθούν τον κανόνα \(2^{k},\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) Η ανάλυση του διαγράμματος μας επιτρέπει να δούμε καθαρά τις τρεις πρώτες διακλαδώσεις. Εντούτοις, οι διακλαδώσεις συνεχίζονται ακολουθώντας τον παραπάνω κανόνα και για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου \(k\). Κατασκευάζοντας ένα πιο ακριβές διάγραμμα στην περιοχή των διακλαδώσεων παρουσιάζονται ακόμη περισσότερες διακλαδώσεις. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρείστε τις τιμές στους άξονες του διαγράμματος.
 |
| Εστίαση μιας μικρής περιοχής διακλαδώσεων στην περιοχή του διπλασιασμού των περιόδων της παραμέτρου \(c\). H αυτοομοιότητα των δύο διαγραμμάτων είναι προφανής. Το διάστημα εστίασης αντιστοιχεί στο εύρος τιμών της παραμέτρου \([4.1,\ 4.22]\) και το πεδίο τιμών περιορίζεται μόνο για τον κάτω κλάδο. Στο εστιασμένο διάγραμμα διακρίνονται και οι διακλαδώσεις μέχρι την περίοδο 32. Οι λύσεις όλο και μεγαλύτερων περιόδων κείνται σε όλο και μικρότερα διαστήματα τιμών της παραμέτρου. Για παράδειγμα, οι λύσεις της περιόδου 16 κείνται περίπου στο διάστημα \([4.1825,\ 4.2]\), ενώ οι λύσεις της περιόδου 32 κείνται στο διάστημα περίπου \([4.2,\ 4.2025]\). |
Παρόλο που αποτελεί ένα μικρό τμήμα του αρχικού διαγράμματος, οι ομοιότητες που παρουσιάζει αυτή η περιοχή με το ολικό σχήμα του διπλασιασμού περιόδου είναι εντυπωσιακές. Πρόκειται για μία δομή που αναπαράγεται σε μικρότερες κλίμακες, δημιουργώντας έτσι μία πολύπλοκη συμπεριφορά του συστήματος η οποία τελικά αλλάζει το ποιοτικό περιεχόμενο των λύσεων (μετάβαση από τις περιοδικές τροχιές στις χαοτικές). Αυτή η εντυπωσιακή επανάληψη ενός μοτίβου σε διαφορετικές κλίμακες καλείται αυτοομοιότητα. Στην προκείμενη περίπτωση του διαγράμματος διακλάδωσης έχουμε την εμφάνιση νέων διακλαδώσεων σε όλο και μικρότερες κλίμακες, με τέτοιον τρόπο ώστε, με κάθε νέα ομάδα διακλαδώσεων που εμφανίζεται να αντιστοιχούν σε διπλασιασμό περιόδου των λύσεων του συστήματος. Παρατηρείστε ότι το εύρος των τιμών της παραμέτρου που εκτείνονται διαδοχικές διακλαδώσεις φθίνει. Από την άλλη αποδεικνύεται ότι ο διπλασιασμός \(2^{k}\) συνεχίζεται καθώς \(k \rightarrow \infty\). Σύμφωνα με το δεδομένο αυτό, θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι στην περιοχή που εμφανίζεται το χάος, αντιστοιχούν λύσεις άπειρης περιόδου (αν αυτή η έκφραση έχει κάποιο νόημα). Ωστόσο μπορούμε να διαπιστώσουμε, βάσει των παραπάνω, ότι η μετάβαση από τις περιοδικές λύσεις στις χαοτικές, παρόλο που γίνεται σε ένα πεπερασμένο διάστημα τιμών της παραμέτρου, γίνεται με έναν ομαλό τρόπο. Εξαιτίας της αυτοομοιότητας στην περιοχή όπου εκτυλίσσεται το φαινόμενο του διπλασιασμού της περιόδου, συναντάμε λύσεις με περίοδο \(2^{k}\) για κάθε τιμή του \(k = 1,\ 2,\ \ldots\). Με άλλα λόγια, στην περιοχή του διπλασιασμού της περιόδου υπάρχουν διαστήματα για κάθε περίοδο \(2^{k}\). Στο "βασίλειο" της μη-γραμμικότητας το φαινόμενο της αυτοομοιότητας είναι πολύ σύνηθες και θα έχουμε την ευκαιρία να το συναντήσουμε πολλές φορές, όπως και το φαινόμενο του διπλασιασμού περιόδου.
 |
Γραφική απεικόνιση των διαδοχικών διαστημάτων όπου κείνται λύσεις αυξανόμενης περιόδου του τύπου \(2^{k}\) για \(k = 1,\ 2,\ \ldots\). Καθώς αυξάνει η \(k\) το διάστημα τιμών της παραμέτρου ελέγχου όπου κείνται οι περιοδικές λύσεις μικραίνει. Ωστόσο, αποδεικνύεται μαθηματικά ότι το \(k\) μπορεί να πάρει οσοδήποτε μεγάλη τιμή.
|
Κατασκευάζοντας στον υπολογιστή το διάγραμμα διακλάδωσης και για την παράμετρο ελέγχου \(b\) προκύπτει το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος. Στο διάγραμμα αυτό παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές της παραμέτρου υπάρχουν κατά κύριο λόγο χαοτικές λύσεις οι οποίες καθώς αυξάνουμε την τιμή της παραμέτρου καταλήγουν σε ένα αντίστροφο φαινόμενο διπλασιασμού περιόδου. Δεν έχω καταλάβει ακόμα για πιο λόγο γίνεται κάτι τέτοιο, γιατί δηλαδή η παράμετρος \(b\) έχει μία συμπεριφορά αντίστροφη από εκείνη των δύο άλλων παραμέτρων ελέγχου.
 |
| To διάγραμμα διακλάδωσης για την παράμετρο ελέγχου \(b\) στο πεδίο τιμών \([0.001,\ 2.25]\). Το διάγραμμα κατασκευάστηκε με τις τιμές των παραμέτρων \(a\) και \(c\) να διατηρούνται σταθερές και ίσες με \(0.1\) και \(5.7\) αντίστοιχα. |
Η δομή του διπλασιασμού περιόδων παρουσιάζει ορισμένα καθολικά χαρακτηριστικά. Αυτό σημαίνει ότι όποτε παρατηρείται, ανεξάρτητα από τη μορφή των λύσεων, ή ακόμα ανεξάρτητα και από το σύστημα που μελετάμε, υπάρχουν κάποια μεγέθη που αφορούν στη δομή του, τα οποία παραμένουν ίδια. Όμως η ανάλυση αυτής της πολύ ενδιαφέρουσας ιδιότητας των διακλαδώσεων θα μας απασχολήσει σε μία μεταγενέστερη ανάρτηση, όπου θα έχουμε την ευκαιρία να δούμε περισσότερα διαγράμματα διακλάδωσης για διαφορετικά συστήματα.
__________________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Για το σύστημα Rossler και ορισμένες υπολογιστικές εφαρμογές μπορείτε να δείτε τις παλιότερες αναρτήσεις για την τροχιά του παράξενου ελκυστή [~] για την ευαισθησία του συστήματος στις αρχικές συνθήκες [~] καθώς επίσης και για ένα διάγραμμα των παραμέτρων ελέγχου [~].
- Μία συνδυαστική ανάλυση των διαγραμμάτων διακλάδωσης μαζί με έναν άλλο τύπο διαγράμματος των παραμέτρων ελέγχου [~]
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου