*Σημείωση - Στην ανάρτηση αυτή υπάρχει μία διαδραστική εφαρμογή. Αν έχετε το σχετικό plugin θα ενεργοποιηθεί, διαφορετικά στη θέση της θα βλέπετε μία στατική εικόνα. Για να κατεβάσετε το plugin (CDF της Wolfram Research) εντελώς δωρεάν, πατήστε εδώ >> [~].
Χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα που δημιουργούνται από την αριθμητική επίλυση του συστήματος Rössler [~] διακρίναμε δύο βασικούς τύπους τροχιών, που παρατηρούνται σε κάθε μη-γραμμικό σύστημα.
Για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων ελέγχου του συστήματος, από τη μία μπορούν να προκύψουν απλοί ελκυστές τροχιών, που εμφανίζουν μία περιοδικότητα, και από την άλλη υπάρχουν ελκυστές (για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων ελέγχου) που είναι πυκνότεροι και, διαισθητικά, αντιστοιχούν σε μη-περιοδικές τροχιές.
Σε ό,τι έχουμε αναφέρει μέχρι στιγμής, έχουμε παραλείψει σιωπηλά τον ρόλο των αρχικών συνθηκών.
Ο προσδιορισμός των αρχικών συνθηκών είναι απαραίτητος για την αριθμητική επίλυση ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων, όπως είναι εκείνο του Rössler. Όσες εφαρμογές παρουσιάστηκαν, μαζί με αυτές που παρουσιάζονται στη συνέχεια, απαιτούν την αριθμητική επίλυση του συστήματος και επομένως τον προσδιορισμό των αρχικών συνθηκών.
Άρα, αυτό που κάναμε ήταν να σταθεροποιούμε από την αρχή τις αρχικές συνθήκες και, μεταβάλλοντας μόνο τις παραμέτρους ελέγχου παρατηρούσαμε τις αποκρίσεις του συστήματος για τις συγκεκριμένες αλλαγές.
Τώρα θα κάνουμε το αντίθετο. Θα κρατήσουμε, δηλαδή, σταθερές τις τιμές των παραμέτρων ελέγχου και θα αλλάζουμε τις αρχικές συνθήκες, παρατηρώντας τη συμπεριφορά του συστήματος με τη βοήθεια νέων διαγραμμάτων και γραφικών παραστάσεων.
Υπολογιστικό πείραμα - Η επίδραση των αρχικών συνθηκών στην λύση ενός μη-γραμμικού συστήματος
Δουλεύοντας με τις αρχικές συνθήκες, όπως θα διαπιστώσουμε σύντομα, αποκτούμε μία πιο εποπτική εικόνα για την συμπεριφορά των λύσεων ενός μη-γραμμικού συστήματος. Ξεκινάμε με την παρακάτω εφαρμογή, η οποία είναι μία η ανανεωμένη έκδοση μιας άλλης που παρουσιάσαμε σε προηγούμενη ανάρτηση [~]. Εδώ, λύνουμε ξανά το μη-γραμμικό σύστημα του Rössler, και, εκτός από τις τρεις παραμέτρους ελέγχου, μπορείτε επίσης να αλλάζετε και τις αρχικές συνθήκες.
Η εφαρμογή έχει ως αρχική κατάσταση μία περίπλοκη τροχιά, όπως απεικονίζεται στο διάγραμμα. Δοκιμάστε να αλλάξετε τις αρχικές συνθήκες και παρατηρήστε πως αποκρίνεται το σύστημα. Αλλάζει καθόλου η τροχιά; Έπειτα, αλλάξτε τις τιμές των παραμέτρων έτσι ώστε να πάρετε διαφορετικές αλλά το ίδιο περίπλοκες τροχιές. Για καθεμία από αυτές τις τροχιές που επιλέγετε, δοκιμάστε να αλλάζετε τις αρχικές συνθήκες. Έτσι θα καταλήξετε σε ένα διαισθητικό συμπέρασμα για τις συγκεκριμένες τροχιές. Μπορείτε να επαναλάβετε το ίδιο υπολογιστικό πείραμα για περιοδικές τροχιές που είναι πιο απλές και να καταλήξετε σε κάποιο ανάλογο συμπέρασμα.
Με αυτό τον τρόπο καταλήγουμε σε μία θεμελιώδη διαπίστωση. Οι αρχικές συνθήκες μπορούν να επηρεάσουν τις χαοτικές τροχιές, ενώ οι περιοδικές παραμένουν ανεπηρέαστες και δεν εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. Σε αυτή τη διαπίστωση υπάρχει μία υποκείμενη έννοια σταθερότητας. Δηλαδή, η ευαισθησία των λύσεων στις αρχικές συνθήκες μπορεί να αποτελέσει κριτήριο για τον χαρακτηρισμό της σταθερότητάς τους.
Η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες
Το παραπάνω υπολογιστικό πείραμα αποτελεί μία ένδειξη ότι ο ρόλος των αρχικών συνθηκών είναι αρκετά καθοριστικός στην επίλυση του συστήματος. Μπορεί να μην επηρεάζει τις περιοδικές τροχιές, αλλά επηρεάζουν σίγουρα τις πιο περίπλοκες λύσεις, τις οποίες θα τις ονομάσουμε χαοτικές λύσεις.
Για τη συγκεκριμένη ομάδα των λύσεων, μία ελάχιστη αλλαγή στις αρχικές συνθήκες είναι ικανή να δώσει λύσεις εντελώς διαφορετικές μεταξύ τους. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται ο ελκυστής του Rössler για τέσσερις διαφορετικές αρχικές συνθήκες, που διαφέρουν ελάχιστα.
Αυτή η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες αποτελεί σήμα κατατεθέν του φαινομένου του χάους και σε συνδυασμό με την ύπαρξη της μη-γραμμικότητας στις εξισώσεις προκαλεί την απρόβλεπτη συμπεριφορά του συστήματος για ορισμένους κατάλληλους συνδυασμούς των παραμέτρων ελέγχου. Πρόκειται για μία αναγκαία συνθήκη, όχι όμως και ικανή όσον αφορά στην ύπαρξη χαοτικών λύσεων ενός συστήματος. Για τη μαθηματική θεμελίωση του χάους απαιτούνται κι άλλες συνθήκες, όμως η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες μπορεί να παρατηρηθεί σε φυσικά φαινόμενα και για αυτό είναι ίσως το πιο δημοφιλές γνώρισμα για το φαινόμενο του χάους.
Το Φαινόμενο της Πεταλούδας
Η ευαισθησία του συστήματος στις αρχικές συνθήκες φαίνεται να εγείρει σημαντικά ερωτήματα σχετικά με την ικανότητά μας να προβλέψουμε την εξέλιξη ενός μη-γραμμικού συστήματος. Ο Lorenz ήταν ο πρώτος που το ανέφερε (όπως το γνωρίζουμε σήμερα) σε μία σύντομη αναφορά το 1972 [1], ενώ υπάρχουν μαρτυρίες ότι κάτι ανάλογο είχε εκφραστεί προς το τέλος του 19ου αιώνα, [2].
Στην ομιλία του 1972 ο Lorenz, αναφέρει μία ανησυχία του σχετικά με τα συστήματα που εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά. Οι παρατηρήσεις του σχετίζονται άμεσα με τα υπολογιστικά πειράματα που έκανε το 1962, στα οποία προσομοίαζε τα ρεύματα των αερίων μαζών της ατμόσφαιρας. Στα αποτελέσματα που προέκυπταν παρατήρησε μία ανεξήγητη ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες που απειλούσε την προβλεψιμότητα του μοντέλου του.
O Lorenz πίστευε εκείνο που πίστευαν και όλες οι γενεές φυσικών (και όχι μόνο) από την εποχή του Newton και έπειτα. Αφού ορίσουμε σωστά τις εξισώσεις ενός συστήματος, η λύσεις που θα προκύψουν θα μπορούν να μας προσδιορίσουν επακριβώς την συμπεριφορά του συστήματος σε μελλοντικές χρονικές στιγμές. Ο Lorenz στις υπολογιστικές του προσομοιώσεις, όριζε κάποιες αρχικές συνθήκες στο σύστημά του, έτρεχε τον υπολογιστή του και στο τέλος έπαιρνε τις χρονοσειρές των λύσεων, δηλαδή μία ακολουθία τιμών των απαραίτητων ποσοτήτων διατεταγμένες στον άξονα του χρόνου. Αυτές οι χρονοσειρές προσδιορίζουν και τη συμπεριφορά του συστήματος σε μελλοντικούς χρόνους.
Όμως αυτό που παρατήρησε ήταν ότι, αν άλλαζε ελάχιστα τις αρχικές συνθήκες του τότε οι χρονοσειρές που προέκυπταν από κάποια χρονική στιγμή και έπειτα δεν είχαν καμία σχέση με τις προηγούμενες αρχικές συνθήκες. Έτσι, παρόλο που οι λύσεις ξεκινούσαν από πολύ κοντινά σημεία κατέληγαν να εκφράζουν εντελώς διαφορετικές συμπεριφορές του συστήματος. Μία ελάχιστη διαταραχή στις αρχικές συνθήκες μπορεί να προκληθεί από το παραμικρό, και το παράδειγμα που χρησιμοποιεί ο Lorenz είναι ένας ισχυρισμός που φαίνεται από πρώτη άποψη ακραίο, αλλά βάσιμο. Στην 139η συνάντηση του Αμερικανικού Συλλόγου για την προαγωγή της επιστήμης, ο Lorenz παρουσίασε τον προβληματισμό του για το συγκεκριμένο θέμα με τον τίτλο "Προβλεψιμότητα: Μπορεί το φτερούγισμα μιας πεταλούδας στην Βραζιλία να προκαλέσει μία θύελλα στο Τέξας;"
Για όσους είναι έτοιμοι να βγουν με τις απόχες τους προς το κυνήγι πεταλούδων για να αποτρέψουν κάποια επικείμενη θύελλα, πρέπει να τους προειδοποιήσουμε ότι το παράδειγμα του Lorenz είναι καθαρά σχηματικό (Ok, κρύο αστείο... ομολογώ ότι θα προτιμούσα να συναντούσα τέτοιους τύπους...). Ο Lorenz ειδικότερα αναφέρει
Αργότερα, το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες εκτός από τη μετεωρολογία εμφανίστηκε σχεδόν παντού, από το ζωικό βασίλειο και τα συστήματα θηραμάτων και θηρευτών μέχρι και στα χρηματιστηριακά μοντέλα.
______________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ
[1]- Την πρωτότυπη έκθεση του Lorenz (1972) μπορείτε να τη βρείτε σε μορφή PDF [~]
[2] - Για την ιστορία του Φαινομένου της Πεταλούδας δείτε το άρθρο του 2003 από τον Robert C. Hilborn [~]
Παρουσίαση του συστήματος Rössler [~]
Εισαγωγή στους παράξενους ελκυστές [~]
Διαγραμμα των παραμέτρων ελέγχου που βασίζεται στο φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες [~].
Για τη συγκεκριμένη ομάδα των λύσεων, μία ελάχιστη αλλαγή στις αρχικές συνθήκες είναι ικανή να δώσει λύσεις εντελώς διαφορετικές μεταξύ τους. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται ο ελκυστής του Rössler για τέσσερις διαφορετικές αρχικές συνθήκες, που διαφέρουν ελάχιστα.
 |
| Έχοντας σταθεροποιήσει τις τιμές των παραμέτρων ελέγχου $a = 0.2,\ b = 0.2,\ c = 4.5$, λύνουμε το σύστημα του Rössler για τις παραπάνω αρχικές συνθήκες, που ενώ διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους (σε μία τάξη μεγέθους $10^{-4}$) οι τροχιές που προκύπτουν παρουσιάζουν σημαντικές διαφορές. |
Αυτή η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες αποτελεί σήμα κατατεθέν του φαινομένου του χάους και σε συνδυασμό με την ύπαρξη της μη-γραμμικότητας στις εξισώσεις προκαλεί την απρόβλεπτη συμπεριφορά του συστήματος για ορισμένους κατάλληλους συνδυασμούς των παραμέτρων ελέγχου. Πρόκειται για μία αναγκαία συνθήκη, όχι όμως και ικανή όσον αφορά στην ύπαρξη χαοτικών λύσεων ενός συστήματος. Για τη μαθηματική θεμελίωση του χάους απαιτούνται κι άλλες συνθήκες, όμως η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες μπορεί να παρατηρηθεί σε φυσικά φαινόμενα και για αυτό είναι ίσως το πιο δημοφιλές γνώρισμα για το φαινόμενο του χάους.
Το Φαινόμενο της Πεταλούδας
Η ευαισθησία του συστήματος στις αρχικές συνθήκες φαίνεται να εγείρει σημαντικά ερωτήματα σχετικά με την ικανότητά μας να προβλέψουμε την εξέλιξη ενός μη-γραμμικού συστήματος. Ο Lorenz ήταν ο πρώτος που το ανέφερε (όπως το γνωρίζουμε σήμερα) σε μία σύντομη αναφορά το 1972 [1], ενώ υπάρχουν μαρτυρίες ότι κάτι ανάλογο είχε εκφραστεί προς το τέλος του 19ου αιώνα, [2].
Στην ομιλία του 1972 ο Lorenz, αναφέρει μία ανησυχία του σχετικά με τα συστήματα που εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά. Οι παρατηρήσεις του σχετίζονται άμεσα με τα υπολογιστικά πειράματα που έκανε το 1962, στα οποία προσομοίαζε τα ρεύματα των αερίων μαζών της ατμόσφαιρας. Στα αποτελέσματα που προέκυπταν παρατήρησε μία ανεξήγητη ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες που απειλούσε την προβλεψιμότητα του μοντέλου του.
O Lorenz πίστευε εκείνο που πίστευαν και όλες οι γενεές φυσικών (και όχι μόνο) από την εποχή του Newton και έπειτα. Αφού ορίσουμε σωστά τις εξισώσεις ενός συστήματος, η λύσεις που θα προκύψουν θα μπορούν να μας προσδιορίσουν επακριβώς την συμπεριφορά του συστήματος σε μελλοντικές χρονικές στιγμές. Ο Lorenz στις υπολογιστικές του προσομοιώσεις, όριζε κάποιες αρχικές συνθήκες στο σύστημά του, έτρεχε τον υπολογιστή του και στο τέλος έπαιρνε τις χρονοσειρές των λύσεων, δηλαδή μία ακολουθία τιμών των απαραίτητων ποσοτήτων διατεταγμένες στον άξονα του χρόνου. Αυτές οι χρονοσειρές προσδιορίζουν και τη συμπεριφορά του συστήματος σε μελλοντικούς χρόνους.
Όμως αυτό που παρατήρησε ήταν ότι, αν άλλαζε ελάχιστα τις αρχικές συνθήκες του τότε οι χρονοσειρές που προέκυπταν από κάποια χρονική στιγμή και έπειτα δεν είχαν καμία σχέση με τις προηγούμενες αρχικές συνθήκες. Έτσι, παρόλο που οι λύσεις ξεκινούσαν από πολύ κοντινά σημεία κατέληγαν να εκφράζουν εντελώς διαφορετικές συμπεριφορές του συστήματος. Μία ελάχιστη διαταραχή στις αρχικές συνθήκες μπορεί να προκληθεί από το παραμικρό, και το παράδειγμα που χρησιμοποιεί ο Lorenz είναι ένας ισχυρισμός που φαίνεται από πρώτη άποψη ακραίο, αλλά βάσιμο. Στην 139η συνάντηση του Αμερικανικού Συλλόγου για την προαγωγή της επιστήμης, ο Lorenz παρουσίασε τον προβληματισμό του για το συγκεκριμένο θέμα με τον τίτλο "Προβλεψιμότητα: Μπορεί το φτερούγισμα μιας πεταλούδας στην Βραζιλία να προκαλέσει μία θύελλα στο Τέξας;"
Για όσους είναι έτοιμοι να βγουν με τις απόχες τους προς το κυνήγι πεταλούδων για να αποτρέψουν κάποια επικείμενη θύελλα, πρέπει να τους προειδοποιήσουμε ότι το παράδειγμα του Lorenz είναι καθαρά σχηματικό (Ok, κρύο αστείο... ομολογώ ότι θα προτιμούσα να συναντούσα τέτοιους τύπους...). Ο Lorenz ειδικότερα αναφέρει
Αν ένα και μοναδικό πετάρισμα των φτερών μιας πεταλούδας μπορεί να συντελέσει στη δημιουργία μιας θύελλας, το ίδιο επίσης θα είναι δυνατόν να προκληθεί για όλα τα προηγούμενα ή τα επόμενα πεταρίσματά της, χωρίς να χρειαστεί να αναφέρω για δραστηριότητες αμέτρητων άλλων πιο ισχυρών πλασμάτων, συμπεριλαμβανομένου και του δικού μας είδους.
Αν το φτερούγισμα μιας πεταλούδας μπορεί να συντελέσει στη δημιουργία μιας θύελλας, μπορεί ισοδύναμα να συντελέσει και στην αποτροπή της.
Γενικότερα, αυτό που προτείνω είναι ότι, με το πέρασμα του χρόνου ελάχιστες διαταραχές δεν αυξάνουν ούτε μειώνουν τη συχνότητα να συμβούν διάφορα καιρικά φαινόμενα, όπως οι θύελλες. Αυτό που μπορούν να κάνουν είναι να αλλάξουν τη σειρά με την οποία συμβαίνουν τέτοια φαινόμενα. Το ερώτημα που μας απασχολεί ουσιαστικά είναι αν, για παράδειγμα, δύο συγκεκριμένες καιρικές καταστάσεις που διαφέρουν όσο μία ελάχιστη διαταραχή προκαλούμενη από μία πεταλούδα, ύστερα από κάποιο διάστημα της εξέλιξής τους θα διαφέρουν τόσο ώστε στη μία κατάσταση να εμφανίζεται μία θύελλα. Σε πιο τεχνική ορολογία, η συμπεριφορά της ατμόσφαιρας είναι ασταθής ως προς τις διαταραχές μικρού πλάτους; Η σύνδεση του ερωτήματος αυτού με την ικανότητά μας να προβλέψουμε τον καιρό είναι προφανής "
(δική μου ελεύθερη μετάφραση από [1] - καλύτερα να διαβάσετε το πρωτότυπο)
Αργότερα, το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες εκτός από τη μετεωρολογία εμφανίστηκε σχεδόν παντού, από το ζωικό βασίλειο και τα συστήματα θηραμάτων και θηρευτών μέχρι και στα χρηματιστηριακά μοντέλα.
______________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ
[1]- Την πρωτότυπη έκθεση του Lorenz (1972) μπορείτε να τη βρείτε σε μορφή PDF [~]
[2] - Για την ιστορία του Φαινομένου της Πεταλούδας δείτε το άρθρο του 2003 από τον Robert C. Hilborn [~]
Παρουσίαση του συστήματος Rössler [~]
Εισαγωγή στους παράξενους ελκυστές [~]
Διαγραμμα των παραμέτρων ελέγχου που βασίζεται στο φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες [~].
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου