Το φαινόμενο της ευαισθησίας των αρχικών συνθηκών είναι μία ισχυρή ένδειξη για την εμφάνιση χαοτικής συμπεριφοράς σε ένα μη-γραμμικό σύστημα. Στην ανάρτηση αυτή, όπως και σε προηγούμενες [1] [~], χρησιμοποιούμε το μη-γραμμικό σύστημα του Rossler και διάφορες μικρές υπολογιστικές εφαρμογές που στοχεύουν στην καλύτερη κατανόηση του φαινομένου.
Ο λόγος που επιλέγουμε το σύστημα του Rossler είναι ότι πρόκειται για ένα αρκετά απλό μη-γραμμικό σύστημα, αφού περιέχει μόνον έναν μη-γραμμικό όρο στις εξισώσεις του. Εκτός από τον μη-γραμμικό όρο, στις εξισώσεις του συστήματος υπάρχουν και τρεις παράμετροι ελέγχου. Αλλάζοντας τις τιμές των παραμέτρων και λύνοντας το σύστημα αριθμητικά προκύπτουν και οι διαφορετικές συμπεριφορές του συστήματος. Η συμπεριφορά του συστήματος αναφέρεται στο ποιοτικό περιεχόμενο της εκάστοτε λύσης. Μία σχηματική αναπαράσταση του περιεχομένου των λύσεων φαίνεται και στην τροχιά που ακολουθεί το σύστημα.
Σε προηγούμενη ανάρτηση [~] παρατηρήσαμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη λύσεων του συστήματος, οι περιοδικές και οι χαοτικές λύσεις. Οι τελευταίες, σε αντίθεση με τις περιοδικές λύσεις, εμφανίζουν ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Αυτό σημαίνει ότι αν επιλύσουμε αριθμητικά το σύστημα με συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες και στη συνέχεια στις ίδιες συνθήκες εφαρμόσουμε μία μικρή διαταραχή, τότε η λύση που θα προκύψει λύνοντας ξανά το σύστημα μπορεί να μην έχει καμία σχέση με την αρχική λύση.
Επομένως υπάρχουν λύσεις που ενώ μπορούν να ξεκινούν από πολύ γειτονικά σημεία (αρχικές συνθήκες) στον χώρο των φάσεων, η εξέλιξη της τροχιάς του συστήματος να είναι εντελώς διαφορετική. Σε κάποια χρονική στιγμή της εξέλιξης του συστήματος οι δύο λύσεις αρχίζουν να παίρνουν διαφορετικές τιμές, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. Η χρονική στιγμή που οι δύο λύσεις αποχωρίζονται η μία από την άλλη διαφέρει, καθώς επίσης και το μέγεθος της απόκλισης που μπορεί να έχουν.
Για ποιες τιμές των παραμέτρων προκύπτουν χαοτικές λύσεις; Με γνώμονα αυτό το απλό ερώτημα και τις παραπάνω παρατηρήσεις έγραψα ένα μικρό πρόγραμμα σε Mathematica που μου έφτιαξε έναν "χάρτη" των χαοτικών και των περιοδικών λύσεων σε μία περιοχή τιμών των παραμέτρων ελέγχου $a$ και $c$ (στην $b$ καταχωρήσαμε μία σταθερή τιμή.). Ο χάρτης αυτός φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου ο χρωματικός κώδικας ακολουθεί τη σύμβαση βάσει της οποίας, οι περιοδικές λύσεις χρωματίζονται με λευκό και η διαβάθμιση του γκρι αντιστοιχεί στο μέγεθος της μέσης απόκλισης των τιμών των δύο λύσεων (της κανονικής και της διαταραγμένης).
Το διάγραμμα αυτό μας δίνει μία πρώτη εντύπωση για τον τρόπο με τον οποίο είναι κατανεμημένες οι χαοτικές λύσεις του συστήματος καθώς αλλάζουμε τις τιμές των παραμέτρων, τουλάχιστον για μία περιοχή τιμών. Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί σε μία περιοχή τιμών της παραμέτρου $a$ και ο κάθετος άξονας σε μία περιοχή τιμών της παραμέτρου $c$. Στα αριστερά του διαγράμματος υπάρχει μία άσπρη περιοχή που αντιστοιχεί σε μία "κοιλάδα σταθερότητας", αφού το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες δεν εμφανίζεται, η μικρή διαταραχή στις αρχικές συνθήκες του συστήματος δεν προκαλεί κάποια σημαντική απόκλιση και έτσι προκύπτουν μόνο περιοδικές λύσεις. Αυξάνοντας όμως τις τιμές στον οριζόντιο άξονα (τιμές της παραμέτρου $a$) αρχίζουν να εμφανίζονται αχνά γκρι σημεία,ένδειξη που αντιστοιχεί στην εμφάνιση απόκλισης και το φαινόμενο της ευαισθησίας των λύσεων στις αρχικές συνθήκες αρχίζει να κάνει δειλά την εμφάνισή του. Παρατηρούμε ότι το φαινόμενο του χάους κάνει όλο και πιο έκδηλη την εμφάνισή του για ακόμη μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου $a$ με έναν ιδιαίτερα περίπλοκο τρόπο. Τα γκρι σημεία γίνονται όλο και πιο σκούρα και πυκνά, που σημαίνει ότι το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες γίνεται πιο έντονο. Ωστόσο, στην περιοχή αυτή παρεμβάλλονται ζώνες σταθερότητας και περιοχές περιοδικών λύσεων, οι οποίες διακόπτονται από χαοτικές λύσεις (σκουρόχρωμα σημεία)!
 |
| Στο παραπάνω διάγραμμα παρουσιάζεται η κατανομή των χαοτικών λύσεων του συστήματος του Rossler σε μία περιοχή τιμών των παραμέτρων ελέγχου $a$ και $c$. Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί σε μία περιοχή τιμών $[0.15, 0.387]$ της παραμέτρου $a$ και ο κάθετος άξονας στην περιοχή τιμών $[4.3, 6]$ της παραμέτρου $c$. H παράμετρος $b$ διατηρεί τη σταθερή τιμή $b = 0.8$. Τα λευκά σημεία αναπαριστούν περιοδικές λύσεις, ενώ τα σκουρόχρωμα αναπαριστούν λύσεις που επηρεάζονται από το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες. Οι αρχικές συνθήκες που έχουν χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή όλων των λύσεων είναι $x_{0}= 1,\ y_{0} = 1,\ z_{0} = 1$ και για τις διαταραγμένες λύσεις προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες $x_{0}= 1+10^{-4} ,\ y_{0} = 1,\ z_{0} = 1$. Οι λύσεις που συγκρίνουμε είναι οι $x(t)$. |
Στη συνέχεια χρησιμοποίησα το ίδιο πρόγραμμα για την αναπαράσταση μιας μικρότερης περιοχής αυξάνοντας την ανάλυση, έτσι ώστε να προκύψει μία πιο ακριβής "χαρτογράφηση" των χαοτικών λύσεων σε μία μικρότερη περιοχή του παραπάνω διαγράμματος. Επέλεξα μία περιοχή όπου μία "νησίδα σταθερότητας" περιβάλλεται από χαοτικές λύσεις. Το διάγραμμα που προέκυψε παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα.
Το διάγραμμα αυτό μας αποκαλύπτει ότι τα πράγματα είναι ακόμη πιο περίπλοκα από ότι αρχικά φαίνονταν! Mία φαινομενικά λευκή νησίδα που περιβάλλεται από χαοτικές λύσεις στο αρχικό διάγραμμα, αποκαλύπτει ότι έχει μία πιο λεπτή δομή. Στο καινούργιο διάγραμμα παρατηρούμε νέες ζώνες σταθερότητας που εναλλάσσονται από ζώνες αστάθειας οι οποίες είναι αδιόρατες στην ανάλυση του αρχικού διαγράμματος. Στην περιοχή των χαοτικών λύσεων παρατηρούμε επίσης λεπτές ζώνες όπου η αστάθεια των λύσεων είναι μεγαλύτερη. Παρατηρείστε, για παράδειγμα, την γκρίζα λεπτή ζώνη στο κάτω αριστερό μέρος του νέου διαγράμματος.
Στη συνέχεια αναρωτήθηκα κατά πόσο η αρχική μορφή του διαγράμματος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που χρησιμοποίησα. Αλλάζοντας ελάχιστα το πρόγραμμα έτρεξα ξανά όλους τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας κάθε φορά τυχαίες τιμές στις αρχικές συνθήκες. Το διάγραμμα που προέκυψε παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα δεξιά. Στο αριστερό μέρος του σχήματος έχω τοποθετήσει το αρχικό διάγραμμα χάριν σύγκρισης.
 |
| Το διάγραμμα στα δεξιά αναπαριστά μία μικρή περιοχή του αρχικού διαγράμματος, όπως φαίνεται στα αριστερά. Το εύρος τιμών της περιοχής αντιστοιχεί στο διάστημα $[0.258,\ 0.2688]$ για την παράμετρο $a$ (οριζόντιος άξονας) και στο διάστημα $[5.7,\ 5.93]$ για την παράμετρο $c$. Οι αρχικές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν είναι ίδιες με του αρχικού διαγράμματος. |
Το διάγραμμα αυτό μας αποκαλύπτει ότι τα πράγματα είναι ακόμη πιο περίπλοκα από ότι αρχικά φαίνονταν! Mία φαινομενικά λευκή νησίδα που περιβάλλεται από χαοτικές λύσεις στο αρχικό διάγραμμα, αποκαλύπτει ότι έχει μία πιο λεπτή δομή. Στο καινούργιο διάγραμμα παρατηρούμε νέες ζώνες σταθερότητας που εναλλάσσονται από ζώνες αστάθειας οι οποίες είναι αδιόρατες στην ανάλυση του αρχικού διαγράμματος. Στην περιοχή των χαοτικών λύσεων παρατηρούμε επίσης λεπτές ζώνες όπου η αστάθεια των λύσεων είναι μεγαλύτερη. Παρατηρείστε, για παράδειγμα, την γκρίζα λεπτή ζώνη στο κάτω αριστερό μέρος του νέου διαγράμματος.
Στη συνέχεια αναρωτήθηκα κατά πόσο η αρχική μορφή του διαγράμματος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που χρησιμοποίησα. Αλλάζοντας ελάχιστα το πρόγραμμα έτρεξα ξανά όλους τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας κάθε φορά τυχαίες τιμές στις αρχικές συνθήκες. Το διάγραμμα που προέκυψε παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα δεξιά. Στο αριστερό μέρος του σχήματος έχω τοποθετήσει το αρχικό διάγραμμα χάριν σύγκρισης.
 |
| Το αριστερό διάγραμμα αντιστοιχεί στη διάκριση των χαοτικών λύσεων του συστήματος του Rossler χρησιμοποιώντας για όλους τους υπολογισμούς τις ίδιες αρχικές συνθήκες. Το διπλανό διάγραμμα (δεξιά) προέκυψε από τους ίδιους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας κάθε φορά τυχαίες αρχικές συνθήκες. Παρατηρείστε ότι το εύρος στον οριζόντιο άξονα διαφέρει στα δύο διαγράμματα (το εύρος τιμών της παραμέτρου $a$ είναι λίγο μικρότερο στο δεξιό). |
Παρόλο που οι διαφορές στα διαγράμματα είναι εμφανείς, η γενική δομή του διαγράμματος διατηρείται. Οι μεγάλες ζώνες σταθερότητας υπάρχουν ακόμα κι αν χρησιμοποιήσουμε τυχαίες αρχικές συνθήκες.
Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι γιατί εμφανίζονται αυτές οι ζώνες σταθερότητας και γιατί έχουν τη μορφή που έχουν, ή γιατί είναι συγκεντρωμένες οι περιοδικές λύσεις σε τέτοιες ζώνες. Ίσως να υπάρχει κάποια περιπλοκή οριακή συνθήκη η οποία απ' ό,τι φαίνεται είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες. Αναζήτησα στην βιβλιογραφία παρόμοια διαγράμματα, αλλά δυστυχώς δε βρήκα κάτι ανάλογο. Όποιος λοιπόν έχει κάποια ιδέα για αυτό, ή για το πώς μπορούμε να μελετήσουμε ερωτήματα όπως τα παραπάνω ας αφήσει το σχόλιό του. Όπως και να έχει όμως, φαίνεται ότι το χάος εισέρχεται με έναν ομαλό τρόπο στις λύσεις του συστήματος, χωρίς εντούτοις να αποκτά την απόλυτη κυριαρχία. Οι περιοδικές λύσεις παρεμβάλλονται παντού και εναλλάσσονται με αρκετά περίπλοκο τρόπο με τις χαοτικές. Το φαινόμενο αυτό θα έχουμε την ευκαιρία να το ξαναδούμε από μία διαφορετική σκοπιά που θα βοηθήσει κάπως να προσεγγίσουμε ερωτήματα όπως τα παραπάνω.
___________________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ.
[1] Σε αυτό το ιστολόγιο υπάρχει ήδη μία σειρά αναρτήσεων σχετικά με τα χαοτικά συστήματα, που συνοδεύονται από κάποιες διαδραστικές εφαρμογές με CDF. Βλέπε εδώ [~].
- Μία σχετική ανάλυση που αφορά στην συμπεριφορά του συστήματος μεταβάλλοντας τις τιμές των παραμέτρων ελέγχου γίνεται με τα διαγράμματα διακλάδωσης [~]
- Μία απόπειρα ενοποίησης του παραπάνω διαγράμματος με τα διαγράμματα διακλάδωσης γίνεται σε μία ξεχωριστή ανάρτηση [~]
Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι γιατί εμφανίζονται αυτές οι ζώνες σταθερότητας και γιατί έχουν τη μορφή που έχουν, ή γιατί είναι συγκεντρωμένες οι περιοδικές λύσεις σε τέτοιες ζώνες. Ίσως να υπάρχει κάποια περιπλοκή οριακή συνθήκη η οποία απ' ό,τι φαίνεται είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες. Αναζήτησα στην βιβλιογραφία παρόμοια διαγράμματα, αλλά δυστυχώς δε βρήκα κάτι ανάλογο. Όποιος λοιπόν έχει κάποια ιδέα για αυτό, ή για το πώς μπορούμε να μελετήσουμε ερωτήματα όπως τα παραπάνω ας αφήσει το σχόλιό του. Όπως και να έχει όμως, φαίνεται ότι το χάος εισέρχεται με έναν ομαλό τρόπο στις λύσεις του συστήματος, χωρίς εντούτοις να αποκτά την απόλυτη κυριαρχία. Οι περιοδικές λύσεις παρεμβάλλονται παντού και εναλλάσσονται με αρκετά περίπλοκο τρόπο με τις χαοτικές. Το φαινόμενο αυτό θα έχουμε την ευκαιρία να το ξαναδούμε από μία διαφορετική σκοπιά που θα βοηθήσει κάπως να προσεγγίσουμε ερωτήματα όπως τα παραπάνω.
___________________________________ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΝΑΦΟΡΕΣ.
[1] Σε αυτό το ιστολόγιο υπάρχει ήδη μία σειρά αναρτήσεων σχετικά με τα χαοτικά συστήματα, που συνοδεύονται από κάποιες διαδραστικές εφαρμογές με CDF. Βλέπε εδώ [~].
- Μία σχετική ανάλυση που αφορά στην συμπεριφορά του συστήματος μεταβάλλοντας τις τιμές των παραμέτρων ελέγχου γίνεται με τα διαγράμματα διακλάδωσης [~]
- Μία απόπειρα ενοποίησης του παραπάνω διαγράμματος με τα διαγράμματα διακλάδωσης γίνεται σε μία ξεχωριστή ανάρτηση [~]
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου