Ετικέτες

2011-03-31

Μάρτιος 2011

___________________________OBSERVANDUM

- LaTeX στο Blogger
Η εισαγωγή μαθηματικών τύπων στο ιστολόγιο μέχρι σήμερα αποτελούσε μείζων πρόβλημα και περιόριζε το περιεχόμενο των αναρτήσεων. Διαβάστε πώς λύθηκε το πρόβλημα εισάγoντας εκφράσεις σε LaTeX .

Πρώτοι Αριθμοί
- Μία Εισαγωγή
Εισαγωγικές έννοιες απαραίτητες για τη μελέτη των πρώτων αριθμών. Το θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής και η απόδειξη του Ευκλείδη για το άπειρο πλήθος των πρώτων.

- Μία πιθανοκρατική θεώρηση (μέρος Ι)
Ξεκινάμε από το Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής και περνάμε στον υπολογισμό της πιθανότητας ένας δεδομένος ακέραιος $x$ να είναι πρώτος, βάσει του πλήθους των πρώτων που είναι μικρότεροί του.

- Μία πιθανοκρατική θεώρηση (μέρος ΙΙ)
Συνέχεια του πρώτου μέρους [~] και απλοποίηση των αποτελεσμάτων κάνοντας χρήση της λογαριθμικής συνάρτησης και διάφορων άλλων τεχνικών, όπου ολοκληρώνεται στο τρίτο μέρος...[~]

2011-03-20

Πρώτοι Αριθμοί - Μία πιθανοκρατική θεώρηση (ΙΙ)

Στην ενότητα αυτή θα τιθασεύσουμε την πιθανοκρατική μας προσέγγιση, χρησιμοποιώντας την πανταχού παρούσα λογαριθμική συνάρτηση και μερικά τεχνάσματα που κληρονομήσαμε από τον Newton!

Σε προηγούμενη ανάρτηση [~] βρήκαμε την πιθανότητα ένας δεδομένος ακέραιος $x$ να μη διαιρείται με κανέναν από τους πρώτους $p_{i}$ που είναι μικρότεροί του, δηλαδή για $i$ τέτοιο ώστε $p_{i} < x$. Την πιθανότητα αυτή τη συμβολίζουμε ως $W(x)$ και είδαμε ότι ισούται με
\[
W(x) \approx \prod_{p_{i} \lt x} \Bigl (1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr ).
\]
Πριν προχωρήσουμε κρίνεται αναγκαίο να σχολιάσουμε την παραπάνω έκφραση.
Τα δύο μέλη της έκφασης αυτής δεν συνδέονται με τη σχέση της ισοδυναμίας, αλλά με τη σχέση της κατα προσέγγιση ισοδυναμίας, που τη συμβολίζουμε ως " $\approx$ ". Αυτό συνδέεται άμεσα με την αρχική μας υπόθεση να θεωρήσουμε τις επιμέρους πιθανότητες $\Bigl ( 1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr )$ για κάθε $p_{i}$, ως ανεξάρτητες μεταξύ τους. Το γεγονός αυτό μας επέτρεψε να απλουστεύσουμε κατά πολύ τα πράγματα, αφού έτσι μόνο μπορούμε να πάρουμε το παραπάνω γινόμενο. Ωστόσο, έχουμε πληρώσει το κόστος της απλούστευσης με το να μπορούμε να προσεγγίσουμε την προκείμενη πιθανότητα, χωρίς όμως να μπορούμε να καταλήξουμε σε μία ακριβή αναλυτική έκφραση.

Κατα πόσο είναι καλή είναι αυτή η προσέγγιση;

Πράγματι, τίποτα δεν εγγυάται την ύπαρξη αυτής της ανεξαρτησίας. Δεν υπάρχει κανένα θεώρημα που να δηλώνει ρητά ότι η διαίρεση ενός ακεραίου με έναν συγκεκριμένο πρώτο $p_{i}$, είναι ανεξάρτητη αν ο συγκεκριμένος ακέραιος διαιρείται (ή δεν διαιρείται) με κάποιον άλλον πρώτο $p_{j}$.

Ωστόσο, θα διατηρήσουμε ενεργή αυτή την υπόθεση για να δούμε που μπορεί να καταλήξουμε. Δεδομένου ότι οι δύο ποσότητες είναι θετικές, τις θέτουμε ως ορίσματα της λογαριθμικής συνάρτησης,
\[
\begin{align}
\log{W(x)} &\approx \log{ \prod_{p_{i}\lt x}\Bigl (1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr )}\\
\log{W(x)} &\approx \sum_{p_{i}\lt x} \log{\Bigl ( 1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr )}
\end{align}
\]
Ο βασικός λόγος που γίνεται αυτό είναι να μετατρέψουμε το γινόμενο του δεξιού μέλους της σχέσης σε άθροισμα και η λογαρίθμιση αποτελεί ένα πολύ σύνηθες τέχνασμα. Ας συγκεντρώσουμε την προσοχή μας στην ποσότητα του αθροίσματος. Για μεγάλους πρώτους ισχύει ότι $\frac{1}{p_{i}} \rightarrow 0$ καθώς $p_{i}\rightarrow \infty$. Αυτό σημαίνει ότι η ποσότητα $1 - \frac{1}{p_{i}}$ τείνει στο $1$ και τελικά η $\log{\Bigl (1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr )}$ τείνει στο $0$.

Αυτό φαίνεται και στην παρακάτω γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης. Στο διάγραμμα αυτό σημειώνεται στον οριζόντιο άξονα η ποσότητα $1-\varepsilon$, όπου η $\varepsilon$ αντιστοιχεί
σε μία ποσότητα αρκετά μικρή ώστε η $1-\varepsilon$ να μην ξεφεύγει από την γειτονιά του $1$. Η ποσότητα αυτή μέσω της λογαριθμικής συνάρτησης απεικονίζεται στον κάθετο άξονα σε ένα σημείο κοντά στην περιοχή του $0$ που προσεγγίζεται με την ποσότητα $-\varepsilon$.


Αν θέσουμε όπου $\varepsilon = \frac{1}{x}$ τότε πώς θα συμπεριφέρεται η συνάρτηση $\log{\Bigl (1 - \frac{1}{x}\Bigr )}$ για μεγάλες τιμές του $x$;

Συναφή ερωτήματα απασχολούσαν τους μαθηματικούς από τις πρώτες κιόλας στιγμές της γέννησης του απειροστικού λογισμού. Γνωρίζουμε, για παράδειγμα, ότι ο Isaac Newton (1642 - 1727) καθώς επίσης και ο Nicolas Mercator (1620 - 1687) ανέπτυξαν, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, την έκφραση $\frac{1}{(1 + x)}$ σε μία σειρά με άπειρους όρους, αποδεικνύοντας ότι
\[
\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} + \ldots
\]

Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη ως προς $x$ προκύπτει
\[
\log{(1+x)} = x - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} + \ldots
\]
Προσαρμόζοντας τις δύο αυτές ποσότητες στην περίπτωση που εξετάζουμε θέτουμε απλά όπου $x = -\frac{1}{r}$ με $r$ τη νέα μας μεταβλητή. Παρατηρείστε ότι η δεύτερη έκφραση γίνεται
\[
\log{\Bigl (1 - \frac{1}{r}\Bigr )} = -\frac{1}{r} - \frac{1}{2}\Bigl (\frac{1}{r}\Bigr )^{2} - \frac{1}{3}\Bigl (\frac{1}{r}\Bigr )^{3} - \ldots
\]

Για μεγάλες τιμές του $x$ οι τιμές των όρων του δεύτερου μέλους μειώνονται εκθετικά, εκτός από τον πρώτο όρο. Επομένως, μία καλή πρώτη προσέγγιση για την ποοσότητα $\log{\Bigl (1 - \frac{1}{x}\Bigr )}$ είναι η $-\frac{1}{x}$. Για αυτό μπορούμε να γράψουμε $\log{\Bigl ( 1 - \frac{1}{x}\Bigr )} \approx -\frac{1}{x}$. Έτσι, παίρνουμε μία καλή πορσέγγιση, η οποία βελτιώνεται όλο και περισσότερο για μεγάλες τιμές της μεταβλητής, όπως φαίνεται και στην παρακάτω κοινή γραφική παράσταση των συναρτήσεων $-1/x$ και $\log{(1 - 1/x)}$.

Τα αποτελέσματα αυτά θα τα χρησιμοποιήσουμε στην σχέση που καταλήξαμε παραπάνω για την πιθανότητα $W(x)$, ένας ακέραιος $x$ να μην εμφανίζει στο ανάπτυγμα των πρώτων παραγόντων του κανέναν πρώτο $p_{i}$ μικρότερο του $x$. Είδαμε παραπάνω ότι η πιθανότητα αυτή αντιστοιχεί στο γεγονός ο ακέραιος $x$ να είναι πρώτος και καταλήξαμε ότι,
\[
\log{W(x)} \approx \sum_{p_{i}\le x}\log{\Bigl (1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr )}
\]
Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μεγάλους πρώτους μπορούμε να γράψουμε
\[
\log{W(x)} \approx -\sum_{p_{i}\le x}\frac{1}{p_{i}}.
\]
Αυτό που έχουμε καταφέρει μέχρι στιγμής είναι να απλουστεύσουμε αρκετά την αρχική έκφραση της πιθανότητας $W(x)$. H έκφραση του αθροίσματος αναφέρεται μόνο στους πρώτους που είναι μικρότεροι από τον δεδομένο αριθμό. Αυτό προϋποθέτει να γνωρίζουμε όλο αυτό το υποσύνολο των πρώτων αριθμών. Άρα, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα ένας αριθμός να είναι πρώτος θα πρέπει να γνωρίζουμε όλους τους πρώτους που προηγούνται από αυτόν. Η χρησιμότητα της παραπάνω σχέσης είναι ασήμαντη!

Μην αποθαρρύνεστε όμως... Αυτό θα μας δώσει ώθηση να συνεχίσουμε βελτιώνοντας ακόμη περισσότερο την παραπάνω έκφραση και διερευνώντας μεθόδους που θα την καταστήσουν πιο χρήσιμη!

_________________________________________________________

- Για μία εισαγωγή στους πρώτους αριθμούς [~]

- Η αναρτηση αυτή είναι συνέχεια του πρώτου μέρους. Για το πρώτο μέρος πατήστε εδώ [~]

2011-03-19

Πρώτοι Αριθμοί - Μία πιθανοκρατική θεώρηση (I)

Χρησιμοποιούμε την έννοια της πιθανότητας για να προσεγγίσουμε ερωτήματα που αφορούν στους πρώτους και τη σχέση τους με τους υπόλοιπους ακέραιους. Μετά καταλήγουμε πάλι στους πρώτους. Όλοι οι δρόμοι στο σύνολο των ακέραιων οδηγούν στους πρώτους!


Σε προηγούμενη ανάρτηση [~] παρουσιάσαμε την απόδειξη του Ευκλείδη ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Αυτό αντιστοιχεί στο Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής και για κάθε ακέραιο το γινόμενο αυτό είναι μοναδικό.

Έτσι, οι πρώτοι αριθμοί αποτελουν, υπό τις εγγυήσεις του Θεμελιώδους θεωρήματος της Αριθμητικής, τους δομικούς λίθους των ακέραιων αριθμών. Και ένα θεωρημα είναι μία καλή εγγύηση στην περιοχή των μαθηματικών, κάτι σαν νομική κατοχύρωση... Οι πρώτοι αριθμοί, λοιπόν, αρκούν για να κατασκευάσουμε όλους τους ακέραιους. Παρόλο που οι δομικοί αυτοί λίθοι είναι άπειροι, από μία πρώτη άποψη, φαίνεται να είναι ακατάστατα διασκορπισμένοι στο οικοδόμημα. Ωστόσο, στο ίδιο το σύνολο των πρώτων υπάρχουν δομές και επαναλαμβανόμενα μοτίβα καθιστώντας το σύνολο αυτό κάτι πολύ ιδιαίτερο. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε πτυχές αυτής της ιδιαιτερότητας.

Ας ξεκινήσουμε από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων. Σύμφωνα με το Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, ένας οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να κατασκευαστεί από το γινόμενο κάποιων πρώτων, ή ακόμα και δυνάμεων πρώτων. Στην περίπτωση, βέβαια που ο αριθμός αυτός είναι ο ίδιος πρώτος τότε το ανάπτυγμά του σε πρώτους παράγοντες έχει την τετριμμένη μορφή του ίδιου του εαυτού του.

Για έναν σύνθετο ακέραιο \(C\) το ανάπτυγμα σε πρώτους παράγοντες, περιέχει τουλάχιστον έναν πρώτο (υψωμένο σε κάποια δύναμη) ή και περισσότερους. To σύνολο των πρώτων (που είναι άπειρο), το συμβολίζουμε ως \(\mathbb{P}\) και κάθε ξεχωριστό πρώτο συμβολίζουμε ως \(p_{i}\), με τον δείκτη \(i\) να αντιστοιχεί στη σειρά που εμφανίζεται στον άξονα των ακεραίων. Σύμφωνα με το συμβολισμό αυτό, θα ισχύει \(p_{1}=2,\ p_{2}=3,\ p_{3} = 5,\ p_{4}=7,\ \ldots\). Έτσι, για έναν σύνθετο ακέραιο $C$ το ανάπτυγμα σε πρώτους παράγοντες στη γενική του μορφή θα είναι
\[
C = p_{c,1}^{a}\cdot p_{c,2}^{b}\cdot \ldots \cdot p_{c,n}^{n},
\]
όπου συμβολίζουμε ως \(\{p_{c,1},\ p_{c,2}, \ldots,\ p_{c,n}\}\) το σύνολο των \(n\) πρώτων που εμφανίζονται στο ανάπτυγμα του σύνθετου αριθμού \(C\) υψωμένοι στις αντίστοιχες ακέραιες δυνάμεις \(a,\ b,\ \ldots,\ n\). Γενικά, όσοι πρώτοι εμφανίζονται στο παραπάνω γινόμενο, διαιρούν τέλεια τον \(C\) (δηλαδή δεν αφήνουν υπόλοιπο). Θυμηθείτε ότι οι πρώτοι έχουν πάντοτε να κάνουν με τη διαίρεση, αφού μέσω αυτής της πράξης ορίζονται.

Πώς εμφανίζονται οι πρώτοι σε αυτό το γινόμενο; Ομολογουμένως για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα είναι αρκετά δύσκολο. Εντούτοις, θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε ζητήματα που κινούνται δορυφορικά σε αυτό μεσω των πιθανοτήτων και θα δούμε που μπορεί να καταλήξουμε.

Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι μία ποσότητα που λαμβάνει τιμές μεταξύ του $0$ ("αδύνατον") και $1$ ("απόλυτη βεβαιότητα"). Αν η πιθανότητα μπορεί να επιμεριστεί σε ανεξάρτητες πιθανότητες, τότε αυτή εκφράζεται ως το γινόμενο των επιμέρους πιθανοτήτων. Το άθροισμα αυτών των πιθανοτήτων, εφόσον καλύπτουν όλα τα ενδεχόμενα θα πρέπει να είναι \(1\). Αν η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι $q$ τότε η πιθανότητα να μη συμβεί το συγκεκριμένο συμβάν είναι \(1-q\).

Η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου ακέραιου \(x\) να έχει ως διαιρέτη του έναν πρώτο, ας πούμε τον \(p_{i}\), είναι \(\frac{1}{p_{i}}\). Ξεκινώντας από το \(1\), κάθε πρώτος \(p_{i}\) διαιρείται με τον  \(p_{i}\). Έτσι η πιθανότητα για κάποιον ακέραιο να μην διαιρείται με τον \(p_{i}\) είναι \(\Bigl (1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr )\).

Υποθέτοντας ότι η διαίρεση με διαφορετικούς πρώτους είναι ένα ανεξάρτητο γεγονός, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο \(x\) να μην διαιρείται από κανέναν πρώτο που να είναι μικρότερός του. Αν υποθέσουμε ότι το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι ενός δεδομένου ακέραιου είναι \(m\), τότε για τους διαδοχικούς πρώτους \(p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \ldots,\ p_{m}\), η πιθανότητα ένας ακέραιος \(x\) να διαιρείται με όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι από \(x\) είναι
\[
\begin{align}
W(x) &\approx \Bigl (1 - \frac{1}{2}\Bigr )\cdot \Bigl (1 - \frac{1}{3}\Bigr )\cdot \ldots \ \cdot\Bigl (1 - \frac{1}{p_{m}}\Bigr )\\
W(x) &\approx \prod_{i=1}^{m} \Bigl (1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr ).
\end{align}
\]

Αν ο \(x\) δεν διαιρείται με κανέναν από τους πρώτους που είναι μικρότεροί του τότε δεν υπάρχει κανένας από αυτούς στο ανάπτυγμα των πρώτων παραγόντων. Αυτό ισοδυναμεί ο \(x\) να μη διαιρείται με κανέναν ακέραιο μικρότερό του και για αυτό ο \(x\) είναι πρώτος.

Άρα ξεκινώντας από τον υπολογισμό της πιθανότητας ένας δεδομένος ακέραιος να μην διαιρείται με κανέναν μικρότερό του πρώτο καταλήγουμε στον υπολογισμό της πιθανότητας ο \(x\) να είναι πρώτος.

Οι πιθανότητες είναι ένα χρήσιμο εργαλείο και για τη θεωρία αριθμών. Η παραπάνω ιδέα μπορεί να επεκταθεί αρκετά. Και αυτό θα κάνουμε σε επόμενη ανάρτηση, ξεκινώντας από το σημείο που η παρούσα τελειώνει.

__________________________________________
- Για μία εισαγωγή στους πρώτους αριθμούς [~].

- Το δεύτερο μέρος και η συνέχεια της ανάρτησης αυτής [~].

- Το τρίτο μέρος [~]

2011-03-15

LaTeX στο Blogger - Οδηγίες εγκατάστασης

Προσπαθώ τώρα που (ξανά)ξεκινάω αυτό το ιστολόγιο να εγκαταστήσω LaTeX. Σε ορισμένες αναρτήσεις τόσο παλιότερα όσο και τώρα θέλω να γράφω μαθηματικά που να παρουσιάζονται όμορφα και να δένουν αρμονικά με το κείμενο.

Ενώ στο wordpress εδώ και πολύ καιρό έχει λυθεί το θέμα αυτό, στο blogger, υπάρχουν κάποιες λύσεις, η πλειοψηφία των οποίων δεν έχει το επιθυμητό αισθητικό αποτέλεσμα. Ωστόσο, βρήκα ενα script που μπορείτε να το αντιγράψετε από το σύνδεσμο [~].

Το τμήμα αυτό του κώδικα θα πρέπει να το ενσωματώσετε στον κώδικα HTML που κατασκευάζει τη δομή του ιστολογίου σας. Για αυτό πηγαίνετε

Design > Edit HTML (ή αν έχετε ελληνικά : Σχεδίαση > Επεξεργασία HTML)

Εκεί πηγαίνετε στο Edit Template (Επεξεργασία Προτύπου) όπου θα βρείτε ολόκληρο τον κώδικα του ιστολογίου σας σε HTML. Μέσα σε αυτόν τον κώδικα θα πρέπει να βρείτε την γραμμή όπου γράφει head και βρίσκεται μεταξύ των "<" ">". Στην επόμενη σειρά επικολλείστε τον κώδικα του παραπάνω script. Ως τελευταίο βήμα κατεβάστε από τον σύνδεσμο [~] web fonts του MathJax και τοποθετείστε τα στο φάκελο των fonts του συστήματος (θα τον βρείτε στο Control Panel). Αυτό βελτιώνει την παρουσίαση των εξισώσεων.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι ικανοποιητικό. Ένα παράδειγμα είναι το εξής:

\[
\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E}& = 4\pi \rho \\
\nabla \times \mathbf{E}& = - \frac{1}{c}\frac{\partial{\mathbf{B}}}{\partial{t}}\\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0\\
\nabla \times \mathbf{B} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{j} + \frac{1}{c}\frac{\partial{\mathbf{E}}}{\partial{t}}
\end{align}
\]

Πρώτοι Αριθμοί - Μία Εισαγωγή

Πρώτοι! Γιατί πρώτοι; Πόσοι πρώτοι υπάρχουν; Υπάρχουν τελευταίοι πρώτοι; Γιατί είναι τόσο σημαντικοί; Ποιές είναι οι κυριότερες ιδιότητές τους; Τί τους κάνει να ξεχωρίζουν και πως συνδέονται με τους υπόλοιπους ακέραιους; Πώς ξέρουμε ότι είναι άπειροι; Μία εισαγωγή σε να θέμα μαζοχιστικής εμμονής που θα απασχολήσει θα μπερδέψει και θα ταλαιπωρήσει αρκετές αναρτήσεις (και όχι μόνο...) σε αυτό το ιστολόγιο.


Πρώτος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος που είναι μεγαλύτερος του \(1\) και διαιρείται τέλεια (δηλαδή χωρίς να αφήνει υπόλοιπο) μόνο με τον εαυτό του και το \(1\). Έτσι, ξεκινώντας κάποιος να μετράει και έχοντας υπόψη του τον ορισμό αυτόν θα συναντήσει τους πρώτους \(2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ldots\) (βλέπε και το παρακάτω σχήμα). Παρόλο που ο ορισμός είναι εξαιρετικά απλός, το σύνολο των πρώτων παρουσιάζει αρκετές ιδιομορφίες. Η διάταξη των πρώτων στον άξονα εμφανίζει έναν ιδιαίτερο συνδυασμό κανονικότητας και τυχαιότητας.

Για παράδειγμα, η ακολουθία όλων των άρτιων, δηλαδή των ακέραιων που είναι πολλαπλάσια του 2, μπορεί ως τέτοια να πρoκύψει από τον τύπο \(2n\), όπου το \(n\) είναι ίσο με όλους τους ακέραιους \(n = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) και η αντικατάσταση των τιμών του στην παραπάνω σχέση δίνει \(2,\ 4,\ 6,\ \ldots\), όπως παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και για τους περιττούς αριθμούς, δηλαδή εκείνους που "περισσεύουν" από την παραπάνω ακολουθία των ζυγών. Και για τους περιττούς μπορούμε να φτιάξουμε έναν τύπο που θα τους παράγει. Ο τύπος αυτός είναι το ίδιο απλός με τον τύπο που παράγει τους ζυγούς, μόνο που κάθε φορά προσθέτουμε τη μονάδα, δηλαδή είναι \(2n + 1\). Αντικαθιστώντας μία μία τις τιμές του \(n\) προκυπτει η ακολουθία των περιττών, \(1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots\ \). Όμως για την ακολουθία των πρώτων αριθμών τα πράγματα είναι κάπως διαφορετικά.



Δεν υπάρχει κάποιος τύπος, όπως είναι οι παραπάνω, που να παράγει την ακολουθία όλων των πρώτων αριθμών. Βεβαίως υπάρχουν πολλές σχέσεις που παράγουν πρώτους, όμως δεν έχει βρεθεί κάποια σχέση που να παράγει όλους τους πρώτους. Το γεγονός αυτό θα ισοδυναμούσε με την εύρεση μίας κανονικότητας και την μαθηματική της έκφραση. Επίσης, οι πρώτοι μοιράζονται μεταξύ τους κάποιες ιδιότητες που δεν τις συναντάμε σε καμία άλλη ακολουθία ακεραίων.

Χαρακτηριστικό είναι το γεγονός ότι από το σύνολο των πρώτων αριθμών μπορεί προκύψει το σύνολο όλων των ακεραίων. Με άλλα λόγια, το σύνολο των Πρώτων αρκεί για να μας δώσει ολόκληρο το σύνολο των ακεραίων. Το γεγονός αυτό είναι εντυπωσιακό, εφόσον ένα σύνολο (ακέραιοι αριθμοί) μπορεί να κατασκευαστεί εξολοκλήρου από ένα υποσύνολό του (Πρώτοι)! Ποια είναι όμως η σχέση των πρώτων αριθμών με τους υπόλοιπους ακέραιους;

Πίσω από αυτή την ερώτηση κρύβεται ένα αρκετά σημαντικό αποτέλεσμα. Είναι τόσο σημαντικό που έχει και ένα βαρύγδουπο όνομα. Τιτλοφορείται ως Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής. Μη σας τρομάζει ο όρος "θεώρημα". Πρόκειται για ένα αποτέλεσμα, όπως τα παραπάνω που παρουσιάσαμε, αλλά συμβαίνει να κατέχει περίοπτη θέση στο οικοδόμημα ολόκληρης της σύγχρονης κρυπτογραφίας και της θεωρίας των Αριθμών (αν δεν έχετε ακούσει ποτέ αυτούς τους όρους μη σας αποτρέψει να συνεχίσετε, δεν θα μας απασχολήσουν ιδιαίτερα εδώ...). Σύμφωνα με το Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής, κάθε ακέραιος μπορεί να εκφραστεί μέσω του συνόλου των πρώτων αριθμών. Πώς μπορεί να γίνει κάτι τέτοιο;


Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής, καθε ακέραιος μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Το γινομένο αυτό είναι μοναδικό για κάθε αριθμό. Οι αριθμοί που δεν είναι πρώτοι ονομάζονται σύνθετοι και είναι εκείνοι οι ακέραιοι που διαιρούνται τέλεια με
τον 1 τον εαυτό τους και με άλλον έναν τουλάχιστον ακέραιο.

Για παράδειγμα, ο \(4\) εκτός από τον εαυτό του και το \(1\), διαιρείται ακριβώς με τον \(2\). Ο αριθμός 6 διαιρείται (εκτός από τον εαυτό του και τον \(1\), όπως γίνεται με όλους τους ακεραίους) με τον \(2\) και με τον \(3\) και μπορεί να εκφραστεί ως \(2\times 3\). Κάθε σύνθετος αριθμός έχει μία ανάλογη έκφραση που είναι μοναδική. Ο \(4\) μπορεί να εκφραστεί ως \(2^2\) και την έκφραση αυτή δε θα τη συναντήσουμε για κανέναν άλλο ακέραιο. Πρόκειται για την ανάλυση του \(4\) σε πρώτους παράγοντες. Ο \(8\) μπορεί να εκφραστεί ως \(2\times4\), όμως λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση του \(4\) καταλήγουμε στο \(8 = 2\times4 = 2\times(2^2) = 2^3\) που τελικά αποτελεί και την ανάλυση του \(8\)  σε πρώτους παράγοντες. Ανάλογες εκφράσεις μπορούμε να έχουμε για όλους τους σύνθετους αριθμούς. Για πιο μεγάλους ακέραιους τι γίνεται; Πώς είναι αυτά τα γινόμενα; Είναι αρκετά πολύπλοκα;
Πριν απαντήσουμε σε ανάλογα ερωτήματα θα σταθούμε σε έναν ιδιαίτερα σημαντικό ακέραιο, που δεν μας έχει απασχολήσει ιδιαίτερα μέχρι στιγμής.

Πρόκειται για τον 1. Παρατηρείστε ότι, ο 1 ικανοποιεί όλες τις συνθήκες για να θεωρηθεί πρώτος αριθμός. Διαιρείται ακριβώς με τον εαυτό του και με τον 1 (δηλαδή πάλι με τον εαυτό του - αλλά αυτός είναι ο ορισμός!). Άρα ο 1 είναι πρώτος;


Η απάντηση πρέπει να είναι καταφατική, έτσι ώστε ο ορισμός των πρώτων αριθμών να είναι συνεπής. Εντούτοις, ο 1 δεν θεωρείται πρώτος για διάφορους λόγους... Ένας λόγος έχει να κάνει με την ισχύ του θεμελιώδους θεωρήματος της Αριθμητικής.
Αν ο 1 θεωρούνταν πρώτος δεν θα ίσχυε η μοναδικότητα του αναπτύγματος σε πρώτους παράγοντες. Δεν θα επιμείνουμε πολύ σε αυτό. (Μπορείτε να σκεφτείτε όμως γιατί;)

Οι πρώτοι αριθμοί ήταν γνωστοί στους αρχαίους Έλληνες. Στον Ευκλείδη μία απόδειξη ενός θεωρήματος που αποτελεί μέχρι και σήμερα υπόδειγμα μαθηματικής κομψότητας, εξαιτίας της λιτότητας και της διαύγειας του αποτελέσματος. Το θεώρημα αυτό έχει μία τόσο απλή διατύπωση, όσο απλός είναι και ο παραπάνω ορισμός: Το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Αυτή είναι η πρόταση που απέδειξε ο Ευκλείδης. Αξίζει να παρακολουθήσουμε τον συλλογισμό του.


Το σύνολο των Πρώτων είναι άπειρο: η απόδειξη του Ευκλείδη


Αρχικά, ο Ευκλείδης υπέθεσε ότι το πλήθος των πρώτων δεν είναι άπειρο. Υπέθεσε ότι κάπου στον άξονα των ακεραίων υπάρχει ένας ακέραιος πέρα από τον οποίο δεν υπάρχουν άλλοι πρώτοι. Ποιος είναι αυτός ο ακέραιος; Δεν χρειάζεται να ξέρουμε. Απλά υποθέστε ότι υπάρχει και όλα τα παρακάτω έπονται ως λογικό συμπέρασμα αυτής της υπόθεσης. (Μόνο που στο τέλος αυτής της συλλογιστικής σας περιμένει μία μικρή έκπληξη.) Το ότι πέρα από αυτόν τον ακέραιο, που δεν ξέρουμε ποιος είναι, αλλά υποθέτουμε ότι υπάρχει, δεν εμφανίζεται άλλος ακέραιος που να είναι πρώτος, σημαίνει ότι η ακολουθία των πρώτων τερματίζεται κάπου. Αυτό ισοδυναμεί με τον ισχυρισμό ότι στην ακολουθία των πρώτων υπάρχει ένας πρώτος που είναι ο τελευταίος πρώτος. Ας συμβολίσουμε λοιπόν αυτόν τον "τελευταίο πρώτο" ως \(P\), έτσι ώστε το σύνολο των πρώτων μπορεί να συμβολιστεί ως \(\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots,\ P\}\). Αν πολλαπλασιάσουμε το πλήθος αυτών των πρώτων
, το γινόμενο θα ισούται με έναν ακέραιο, στον οποίο προσθέτουμε και τη μονάδα. Συμβολίζουμε τον ακέραιο αυτό ως \(C\) και όπως είπαμε ισχύει
\[
C = 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot P + 1.
\]
Αν διαιρέσουμε τον \( C\) με καθέναν πρώτο, καμία από αυτή τη διαίρεση δεν είναι τέλεια και αφήνει πάντοτε υπόλοιπο 1. Αυτό συνεπάγεται ότι ο \(C\) δεν μ πορεί να διαιρεθεί με κανέναν αριθμό. Αν όμως συμβαίνει αυτό, τότε ο \(C\) είναι πρώτος αριθμός! Έτσι, καταλήγουμε σε άτοπο. Καταλήξαμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντιδιαστολή με τα επιμέρους λογικά βήματα που μας οδήγησαν εδώ. Τα μαθηματικά δεν αντέχουν τέτοιες ασυνέπειες. Αν κάτι δεν πάει καλά, τότε το σφάλμα υπάρχει στην αρχή, στις αρχικές μας υποθέσεις. Οι αρχικές μας υποθέσεις είναι εσφαλμένες. Ξεκινήσαμε από την υπόθεση ότι υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός πέρα από τον οποίο δεν υπάρχουν πρώτοι αριθμοί, ή ισοδύναμα, ότι οι πρώτοι είναι πεπερασμένοι και ότι υπάρχει "τελευταίος πρώτος". Καμία από αυτές τις προτάσεις δεν είναι ορθή. Συνεπώς το σύνολο των πρώτων είναι άπειρο.

Η απόδειξη αυτή ακόμα και μετά από περίπου 2300 χρόνια θεωρείται υπόδειγμα μαθηματικής απλότητας και ομορφιάς.

Το σύνολο των πρώτων αποτελεί ένα ανεξάντλητο πεδίο μυστηρίων που από την αρχαιότητα ακόμα ασκούσε μία ιδιαίτερη έλξη στους μαθηματικούς. Σε μελλοντικές αναρτήσεις θα επικεντρωθούμε σε ειδικότερα θέματα, που αφορούν στους πρώτους, στον τρόπο που κατανέμονται στο σύνολο των ακεραίων, σε διάφορες γραφικές αναπαραστάσεις που αφορούν σε αυτή την κατανομή και πολλά άλλα.