Το τρίτο και τελευταίο μέρος της πιθανοκρατικής προσέγγισης σε ερωτήματα που αφορούν τους πρώτους αριθμούς κατευθύνεται από τα μειονεκτήματα προηγούμενων αποτελεσμάτων, ανοίγοντας στο τέλος έναν καινούργιο ορίζοντα εξερεύνησης...Η παρούσα ανάρτηση αποτελεί το τρίτο μέρος όπου αναλύεται η πιθανοκρατική προσέγγιση σε ζητήματα που αφορούν τους πρώτους. Μπορείτε να ανατρέξετε στις αναρτήσεις του πρώτου [~] και του δεύτερου [~] μέρους.
Αυτό που απασχολεί τη μελέτη μας είναι η μαθηματική έκφραση που έχει η πιθανότητα ένας αριθμός $x$ να είναι πρώτος. Το σημείο εκκίνησης ήταν το Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής, σύμφωνα με το οποίο ένας ακέραιος μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων. Για παράδειγμα, ο ακέραιος $634$ έχει ως ανάπτυγμα πρώτων παραγόντων το $2\times 317$ όπου οι αριθμοί $2$ και $317$ είναι οι πρώτοι παράγοντες του $634$. Ο αριθμός $317$ δεν έχει πρώτους παράγοντες διότι είναι ο ίδιος πρώτος. Έτσι, η πιθανότητα $W(x)$ ο $x$ να είναι πρώτος ισοδυναμεί με την πιθανότητα ο $x$ να μην έχει κανέναν πρώτο $p_{i}\lt x$ ως πρώτο παράγοντα, και έχουμε καταλήξει στο αποτέλεσμα
\[
\log{W(x)} \approx -\sum_{p_{i}\lt x}\frac{1}{p_{i}}.\]
Όπως είδαμε στο προηγούμενο μέρος, το τελευταίο βήμα στην παραπάνω έκφραση αποτελεί καλή προσέγγιση για μεγάλα $x$. Το ενοχλητικό στο παραπάνω άθροισμα είναι ότι δεν αναφέρεται σε διαδοχικούς ακέραιους, παρά μόνο σε πρώτους. Αν θέλουμε να έχουμε ένα ποσοτικό αποτέλεσμα για την πιθανότητα $W(x)$ τότε θα πρέπει να γνωρίζουμε το υποσύνολο των πρώτων $p_{i} \lt x$. Είναι προφανές ότι κάτι τέτοιο δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμο.
Αυτό που απασχολεί τη μελέτη μας είναι η μαθηματική έκφραση που έχει η πιθανότητα ένας αριθμός $x$ να είναι πρώτος. Το σημείο εκκίνησης ήταν το Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής, σύμφωνα με το οποίο ένας ακέραιος μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων. Για παράδειγμα, ο ακέραιος $634$ έχει ως ανάπτυγμα πρώτων παραγόντων το $2\times 317$ όπου οι αριθμοί $2$ και $317$ είναι οι πρώτοι παράγοντες του $634$. Ο αριθμός $317$ δεν έχει πρώτους παράγοντες διότι είναι ο ίδιος πρώτος. Έτσι, η πιθανότητα $W(x)$ ο $x$ να είναι πρώτος ισοδυναμεί με την πιθανότητα ο $x$ να μην έχει κανέναν πρώτο $p_{i}\lt x$ ως πρώτο παράγοντα, και έχουμε καταλήξει στο αποτέλεσμα
\[
\log{W(x)} \approx -\sum_{p_{i}\lt x}\frac{1}{p_{i}}.\]
Όπως είδαμε στο προηγούμενο μέρος, το τελευταίο βήμα στην παραπάνω έκφραση αποτελεί καλή προσέγγιση για μεγάλα $x$. Το ενοχλητικό στο παραπάνω άθροισμα είναι ότι δεν αναφέρεται σε διαδοχικούς ακέραιους, παρά μόνο σε πρώτους. Αν θέλουμε να έχουμε ένα ποσοτικό αποτέλεσμα για την πιθανότητα $W(x)$ τότε θα πρέπει να γνωρίζουμε το υποσύνολο των πρώτων $p_{i} \lt x$. Είναι προφανές ότι κάτι τέτοιο δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμο.
Ένα σημαντικό βήμα βελτίωσης θα ήταν η τροποποίηση του παραπάνω αθροίσματος σε όλους τους ακέραιους που είναι μικρότεροι του $x$. Για να το επιτύχουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε ξανά έναν όρο πιθανότητας. Η ανάλυση που ακολουθεί, βασίζεται σε ένα τέχνασμα που υπάρχει στο βιβλίο του Schroeder (βλ.αναφορές [1]).
Έστω $x$ ένας ακέραιος. Τότε η πιθανότητα να είναι πρώτος είναι $W(x)$. Ο λογάριθμος της πιθανότητας αυτής προσεγγίζεται με το άθροισμα των αντίστροφων πρώτων $-\sum_{p_{i}\lt x}1/p_{i}$ του συνόλου $\{p_{i}\in \mathbb{P}: p_{i}\lt x\}$. Αντίστοιχα, για κάποιον ακέραιο $y \lt x$ υπάρχει ένα άλλο σύνολο πρώτων $\{p_{j}\in \mathbb{P}: p_{j}\lt y\}$. Αυτό που θέλουμε είναι στο άθροισμα που εκτιμάται η εν λόγω πιθανότητα, να μεταβάλλεται κατά $-\frac{1}{n}$ αν ο $n$ είναι πρώτος και $0$ όταν ο $n$ δεν είναι πρώτος. Έτσι, επιχειρώντας να προσεγγίσουμε το γεγονός αυτό, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο $-\frac{1}{n}$ με την πιθανότητα $W(n)$, ο $n$ να είναι πρώτος. Έτσι κατσκευάζουμε το παρακάτω βεβαρυμένο άθροισμα
\[
\log{W(x)} \approx -\sum_{n=2}^{x}\frac{W(n)}{n}.\]
Έτσι, έχουμε καταφέρει να εισάγουμε στο άθροισμα όλους τους ακέραιους που είναι μικρότεροι του $x$. Το συνεχές ανάλογο του παραπάνω αθροίσματος αντιστοιχεί σε ένα ολοκλήρωμα στο διάστημα $[2, x]$, παίρνοντας
\[
\log{W(x)} \approx -\int_{2}^{x}\frac{W(n)}{n}dn. \]
Το αρνητικό πρόσημο στο δεξιό μέλος μπορεί να απαλειφθεί εισάγοντας τη μέση απόσταση μεταξύ των πρώτων $A(x) = 1/W(x)$. Έτσι, προκύπτει η θετική έκφραση
\[
\log{W(x)} \approx -\int_{2}^{x}\frac{d{n}}{nA(n)}. \]
Η μετατροπή του διακριτού αθροίσματος σε ολοκλήρωμα αποτελεί μία συνηθισμένη τακτική που σκοπεύει στον έλεγχο της σύγκλισης του αθροίσματος ή στον τρόπο που αποκλίνει...
Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω, προκύπτει η σχέση
\[
\frac{A'(x)}{d{x}} \approx \frac{1}{xA(x)}
\]
Αν αντικαταστήσουμε την σχέση της κατα προσέγγιση ισοδυναμίας με την σχέση ισοδυναμίας, τότε έχουμε μία μη-γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού. Εύκολα διακρίνουμε ότι $A'(x)\equiv\frac{d{A(x)}}{d{x}} \approx \frac{1}{x}$ και ολοκληρώνοντας προκύπτει ότι $A(x) \approx \log{x}$.
Δεδομένου ότι $A(x) = 1/W(x)$ καταλήγουμε σε μία έκφραση για τη μέση πυκνότητα,
\[
W(x) \approx \frac{1}{\log{x}}. \]
Αν δεχτούμε την εκτίμηση αυτή για τη μέση πυκνότητα των πρώτων στο διάστημα μεταξύ του $2$ και ενός ακέραιου $x$, τότε συμπεραίνουμε ότι καθώς αυξάνει το $x$ δυσκολευόμαστε όλο και περισσότερο να βρούμε πρώτους και έτσι η πυκνότητα τους αραιώνει. Tο παραπάνω αποτέλεσμα μας δίνει ένα μέτρο αυτού του φαινομένου. Η αραίωση των πρώτων τείνει να λαμβάνει τη μορφή του αντίστροφου λογάριθμου.
Η αραίωση αυτή εκφράζεται μέσω μίας συνάρτησης που διεθνώς συμβολίζεται ως $\pi(x)$ και για δεδομένο $x$ αντιστοιχεί στο πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι του $x$.
Όλα ξεκίνησαν με μία προσπάθεια υπολογισμού της πιθανότητας ένας ακέραιος $x$ να είναι πρώτος και καταλήξαμε σε ένα γενικό συμπέρασμα για την κατανομή των πρώτων και τον ορισμό της συνάρτησης $\pi (x)$. Η συνάρτηση αυτή έχει ορισμένες αξιοσημείωτες ιδιότητες. Μία από αυτές αντιστοιχεί στο Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών, το οποίο είχε "υποψιαστεί" ο C.F. Gauss όταν ήταν 15 ετών και αποδείχτηκε εκατό χρόνια αργότερα.
____________________________________________
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΑΝΑΦΟΡΕΣ
- Mία εισαγωγή στους πρώτους αριθμούς και στην περίφημη απόδειξη του Ευκλείδη για το άπειρο πλήθος των πρώτων [~].
- Μία πιθανοκρατική θεώρηση - μέρος 1 [~] και μέρος 2 [~].
- [1] Schroeder Manfred, Number Theory in Science and Communication: With Applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing, and Self-Similarity, 5th Edition
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου