Πρώτοι Αριθμοί - Μία πιθανοκρατική θεώρηση (I)

Χρησιμοποιούμε την έννοια της πιθανότητας για να προσεγγίσουμε ερωτήματα που αφορούν στους πρώτους και τη σχέση τους με τους υπόλοιπους ακέραιους. Μετά καταλήγουμε πάλι στους πρώτους. Όλοι οι δρόμοι στο σύνολο των ακέραιων οδηγούν στους πρώτους!

Σε προηγούμενη ανάρτηση [~] παρουσιάσαμε την απόδειξη του Ευκλείδη ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Αυτό αντιστοιχεί στο Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής και για κάθε ακέραιο το γινόμενο αυτό είναι μοναδικό.

Έτσι, οι πρώτοι αριθμοί αποτελουν, υπό τις εγγυήσεις του Θεμελιώδους θεωρήματος της Αριθμητικής, τους δομικούς λίθους των ακέραιων αριθμών. Και ένα θεωρημα είναι μία καλή εγγύηση στην περιοχή των μαθηματικών, κάτι σαν νομική κατοχύρωση... Οι πρώτοι αριθμοί, λοιπόν, αρκούν για να κατασκευάσουμε όλους τους ακέραιους. Παρόλο που οι δομικοί αυτοί λίθοι είναι άπειροι, από μία πρώτη άποψη, φαίνεται να είναι ακατάστατα διασκορπισμένοι στο οικοδόμημα. Ωστόσο, στο ίδιο το σύνολο των πρώτων υπάρχουν δομές και επαναλαμβανόμενα μοτίβα καθιστώντας το σύνολο αυτό κάτι πολύ ιδιαίτερο. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε πτυχές αυτής της ιδιαιτερότητας.

Ας ξεκινήσουμε από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων. Σύμφωνα με το Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, ένας οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να κατασκευαστεί από το γινόμενο κάποιων πρώτων, ή ακόμα και δυνάμεων πρώτων. Στην περίπτωση, βέβαια που ο αριθμός αυτός είναι ο ίδιος πρώτος τότε το ανάπτυγμά του σε πρώτους παράγοντες έχει την τετριμμένη μορφή του ίδιου του εαυτού του.

Για έναν σύνθετο ακέραιο \(C\) το ανάπτυγμα σε πρώτους παράγοντες, περιέχει τουλάχιστον έναν πρώτο (υψωμένο σε κάποια δύναμη) ή και περισσότερους. To σύνολο των πρώτων (που είναι άπειρο), το συμβολίζουμε ως \(\mathbb{P}\) και κάθε ξεχωριστό πρώτο συμβολίζουμε ως \(p_{i}\), με τον δείκτη \(i\) να αντιστοιχεί στη σειρά που εμφανίζεται στον άξονα των ακεραίων. Σύμφωνα με το συμβολισμό αυτό, θα ισχύει \(p_{1}=2,\ p_{2}=3,\ p_{3} = 5,\ p_{4}=7,\ \ldots\). Έτσι, για έναν σύνθετο ακέραιο $C$ το ανάπτυγμα σε πρώτους παράγοντες στη γενική του μορφή θα είναι

\[
C = p_{c,1}^{a}\cdot p_{c,2}^{b}\cdot \ldots \cdot p_{c,n}^{n},
\]

όπου συμβολίζουμε ως \(\{p_{c,1},\ p_{c,2}, \ldots,\ p_{c,n}\}\) το σύνολο των \(n\) πρώτων που εμφανίζονται στο ανάπτυγμα του σύνθετου αριθμού \(C\) υψωμένοι στις αντίστοιχες ακέραιες δυνάμεις \(a,\ b,\ \ldots,\ n\). Γενικά, όσοι πρώτοι εμφανίζονται στο παραπάνω γινόμενο, διαιρούν τέλεια τον \(C\) (δηλαδή δεν αφήνουν υπόλοιπο). Θυμηθείτε ότι οι πρώτοι έχουν πάντοτε να κάνουν με τη διαίρεση, αφού μέσω αυτής της πράξης ορίζονται.

Πώς εμφανίζονται οι πρώτοι σε αυτό το γινόμενο; Ομολογουμένως για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα είναι αρκετά δύσκολο. Εντούτοις, θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε ζητήματα που κινούνται δορυφορικά σε αυτό μεσω των πιθανοτήτων και θα δούμε που μπορεί να καταλήξουμε.

Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι μία ποσότητα που λαμβάνει τιμές μεταξύ του $0$ ("αδύνατον") και $1$ ("απόλυτη βεβαιότητα"). Αν η πιθανότητα μπορεί να επιμεριστεί σε ανεξάρτητες πιθανότητες, τότε αυτή εκφράζεται ως το γινόμενο των επιμέρους πιθανοτήτων. Το άθροισμα αυτών των πιθανοτήτων, εφόσον καλύπτουν όλα τα ενδεχόμενα θα πρέπει να είναι \(1\). Αν η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι $q$ τότε η πιθανότητα να μη συμβεί το συγκεκριμένο συμβάν είναι \(1-q\).

Η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου ακέραιου \(x\) να έχει ως διαιρέτη του έναν πρώτο, ας πούμε τον \(p_{i}\), είναι \(\frac{1}{p_{i}}\). Ξεκινώντας από το \(1\), κάθε πρώτος \(p_{i}\) διαιρείται με τον  \(p_{i}\). Έτσι η πιθανότητα για κάποιον ακέραιο να μην διαιρείται με τον \(p_{i}\) είναι \(\Bigl (1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr )\).

Υποθέτοντας ότι η διαίρεση με διαφορετικούς πρώτους είναι ένα ανεξάρτητο γεγονός, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο \(x\) να μην διαιρείται από κανέναν πρώτο που να είναι μικρότερός του. Αν υποθέσουμε ότι το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι ενός δεδομένου ακέραιου είναι \(m\), τότε για τους διαδοχικούς πρώτους \(p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \ldots,\ p_{m}\), η πιθανότητα ένας ακέραιος \(x\) να διαιρείται με όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι από \(x\) είναι

\[
\begin{align}
W(x) &\approx \Bigl (1 - \frac{1}{2}\Bigr )\cdot \Bigl (1 - \frac{1}{3}\Bigr )\cdot \ldots \ \cdot\Bigl (1 - \frac{1}{p_{m}}\Bigr )\\
W(x) &\approx \prod_{i=1}^{m} \Bigl (1 - \frac{1}{p_{i}}\Bigr ).
\end{align}
\]

Αν ο \(x\) δεν διαιρείται με κανέναν από τους πρώτους που είναι μικρότεροί του τότε δεν υπάρχει κανένας από αυτούς στο ανάπτυγμα των πρώτων παραγόντων. Αυτό ισοδυναμεί ο \(x\) να μη διαιρείται με κανέναν ακέραιο μικρότερό του και για αυτό ο \(x\) είναι πρώτος.

Άρα ξεκινώντας από τον υπολογισμό της πιθανότητας ένας δεδομένος ακέραιος να μην διαιρείται με κανέναν μικρότερό του πρώτο καταλήγουμε στον υπολογισμό της πιθανότητας ο \(x\) να είναι πρώτος.

Οι πιθανότητες είναι ένα χρήσιμο εργαλείο και για τη θεωρία αριθμών. Η παραπάνω ιδέα μπορεί να επεκταθεί αρκετά. Και αυτό θα κάνουμε σε επόμενη ανάρτηση, ξεκινώντας από το σημείο που η παρούσα τελειώνει.

__________________________________________
- Για μία εισαγωγή στους πρώτους αριθμούς [~].

- Το δεύτερο μέρος και η συνέχεια της ανάρτησης αυτής [~].

- Το τρίτο μέρος [~]